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量子谱回归算法.docx
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量子谱回归算法.docx
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摘 要 子空间学习是机器学习领域的重要研究方向为了降低子空间学
习的复杂度, 等人提出了谱回归降维框架,并针对结合标签构造
对应图的子空间学习提出了高效谱回归近年来,量子计算的发展使进
一步降低子空间学习算法的复杂度成为了可能 等人率先提出了
量子谱回归算法 算法 算法用了稀疏哈密顿量模拟技术
来处理由权重矩阵生成的矩阵,但这个矩阵在较多的情况下是稠密矩
阵针对这种情况,指出了 算法的局限性,提出了一个改进的量
子谱回归算法改进算法采用了量子奇异值估计技术,在处理稠密矩阵
时相对 算法有多项式加速另外,提出了一个新的量子算法,对
经典的高效谱回归进行加速新算法能处理的这类问题是 算法无
法处理的新算法利用了量子岭回归和量子矩阵向量乘技术,在相同的
参数条件下相对经典算法具有多项式加速效果
关键词 量子算法;量子机器学习;谱回归;子空间学习;稠密矩阵
量子计算展示了其相对经典计算的强大优势
在处理特定的问题
时,如大数质因数分解
、无结构数据搜索
、稀疏线性方程组求解
和
低秩矩阵主成分分析
,采用量子计算的方式具有比经典计算方式低得
多的复杂度近年来,一些研究人员将量子强大的计算能力用在处理经
典计算机上具有较高复杂度的机器学习问题,取得了一系列成果,包
括量子回归算法
、量子支持向量机
、量子生成对抗网络
、量子神
经网络和量子数据挖掘
等
子空间学习是机器学习的重要部分现实世界的数据大多数是以高
维的形式出现,而决定计算任务——例如分类和回归——结果的有效
维度往往很低由于直接处理高维数据不仅需要消耗大量计算资源,还
会导致维数灾难 !"#$%!"&'问题,因此子空间学
习被提出,用来把数据集从高维降到低维,同时保持数据潜在的结构
人脸识别的结果表明,通过子空间学习进行降维,可以显著地提高算
法的性能
尽管子空间学习可以部分解决高维数据的学习问题,但子
空间学习本身通常也需要很高的复杂度,因此如何降低子空间学习的
复杂度是一个很有实际意义的问题一个自然而然的想法是将量子计算
应用于子空间学习,以达到更低的算法复杂度
常用的子空间学习算法包括主成分分析( (&"%("!
&'!!)*+
、 线 性 判 别 分 析 & $! %
&'!!),-+
、 局 部 保 持 投 影 &"&' ( ! .
( "/"!),**
和 邻 域 保 持 嵌 入 0" ""$( ! .
%0$$)1*2
等子空间学习算法如 ,-+),** 和 1*2,通常需
要进行稠密矩阵的特征分解,这往往需要消耗较高的计算资源为了降
低计算资源, 年 等人
提出了谱回归降维框架,该框架包含
了很多现有的子空间学习算法,如 ,-+,,** 和 1*2在同一篇文章中,
针对结合标签信息来构造对应图的子空间学习, 等人提出了高效
谱回归 等人提出可利用权重矩阵的特殊结构,结合格拉姆施密特
正交化来得到稠密矩阵的特征向量,而不需要对稠密矩阵进行特征分
解,从而把复杂度从维数的立方降低为维数的一次方另外,因为引入
了线性回归,所以谱回归中也可以很自然地加入正则化参数,使得算
法可用于数据矩阵是病态矩阵的情况
在 量 子 领 域 , ,&"'$ 等 人
率 先 提 出 了 量 子 主 成 分 分 析 算 法
3%( (&"%("&'!!&" %)4*+,算
法相对经典算法具有指数加速效果需要指出的是,尽管该算法被称为
4*+ 算法,但实际上如果要维持量子算法的加速效果,该算法只能
用来得到低秩或者近似低秩矩阵的较大的特征值,以及以量子态形
式得到对应的特征向量;另外,如果矩阵有重特征值,那么我们无法
通过量子主成分分析得到重特征值对应的一组特征向量,而只能得到
特征向量的叠加态随后, 等人基于量子 *+ 算法,提出了量子
*+ 降维算法,当降维后数据的维数为训练数据维数的对数时,他们
的量子算法相对经典算法实现了指数级的加速
" 等人实现了量
子 ,-+ 算法,与经典算法相比有指数级的加速效果
等人基于
谱回归降维框架
,首次提出了正则化子空间学习的量子谱回归算法
算法,以作者姓名首字母命名,并在降维数据的项数 m 和数
据的特征数 n 满足 m5O&06n时,算法具有多项式加速效果
尽管如
此, 算法仍然存在有待改进的地方首先, 算法在算法的
第一步,即求一般特征值问题时用了稀疏哈密顿量模拟,当处理的矩
阵是稀疏矩阵时,算法具有良好的加速效果,但实际应用中存在很多
矩阵不稀疏的例子,例如 ,-+,此时用稀疏哈密顿量模拟没有加速效
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