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具有多参数恒Lyapunov指数谱的新型统一混沌系统.docx
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具有多参数恒Lyapunov指数谱的新型统一混沌系统.docx
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1 引言
混沌作为一种独特的非线性现象,一直受到广泛关注。早期被提出并且具
有代表性的三维自治混沌系统有 Lorenz 系统
[11
,12
]
、分数阶系统
[13
]
等。这些系统
的混沌特性大多受限于系统参数的变化范围,系统参数的小幅度变化或误差经
常改变混沌系统的动力学特性,其动力学行为会在稳定点、周期运动、拟周期
运动、混沌运动以及超混沌运动状态中发生演变,给混沌系统的实际应用带来
困难。
为了使系统参数在一定范围内变化时不会影响系统本身的混沌特性,即系
统具有很强的稳健混沌特性,一类新的恒 Lyapunov 指数谱混沌系统
[1 4
,15
,1 6
,17
]
被提
出。文献[14
]在归一化 Colpitts 系统方程的基础上,用分段线性的绝对值项代替
非线性指数项,得到一个恒 Lyapunov 指数谱混沌系统,该系统的正 Lyapunov
指数呈现与某个特定参数无关,而信号幅值随之线性改变的重要特性,其正
Lyapunov 指数为 0.098 2。文献[15
]在 Sprott 混沌系统的基础上,采用增加控
制参数的方法实现了对系统的恒 Lyapunov 指数谱混沌锁定,它可以方便地实现
混沌输出信号的幅度和相位控制,但其正 Lyapunov 指数仅为 0.035。文献[16
-
17
]在 Lorenz 系统或 Qi 系统的基础上,改变原系统方程的部分结构,得到一类
新的恒 Lyapunov 指数谱混沌系统,这类系统存在特殊作用的调幅参数与倒相
参数。上述新混沌系统的不断发现和构造,赋予了系统更大的参数变化空间与
演变自由度,可以很好地实现信号幅度的拉伸、缩小或者相位的反转,而不需
要增加硬件电路。然而,上述文献大多是具有单参数或者双参数恒 Lyapunov
指数谱的混沌系统,有关多参数恒 Lyapunov 指数谱混沌系统的报道很少,同时
上述恒 Lyapunov 指数谱混沌系统的正 Lyapunov 指数普遍较低,表明系统运动
的随机特性较弱,不利于其在混沌雷达、图像加密和保密通信等领域
[18
]
的广泛应
用。
基于此,本文在传统 Qi 系统的基础上,通过增加控制参数和改变非线性项
相结合的方法构造了一种具有较大正 Lyapunov 指数和多参数恒 Lyapunov 指数
谱特性的新型统一混沌系统。所提系统包含 2 个交叉乘积项和一个可变非线性
项,通过研究该系统的动力学行为,分析系统的平衡点,得到了系统的数值仿
真结果,并讨论了系统参数改变时 Lyapunov 指数谱、分岔图和混沌信号幅度
的变化曲线。研究发现,所提统一混沌系统能产生 4 种新的三参数恒 Lyapunov
指数谱的双翼混沌吸引子,且包含多种全局和局部的非线性调幅参数。当 c=0
时 , 该 系 统 能 产 生 2 种 新 混 沌 吸 引 子 , 并 具 有 关 于 参 数 a 、 e 和 g 的 恒
Lyapunov 指数谱特性;当 a=0 时,该系统能产生另外 2 种新混沌吸引子,并具
有关于参数 c、e 和 g 的恒 Lyapunov 指数谱特性。以所提系统的第一种混沌吸
引子为例,通过引入偶对称多分段二次型函数和平移变换函数,可以实现网格
多翼的扩展。最后,搭建了所提新型统一混沌系统的硬件电路,实验观察结果
与数值仿真结果一致。
2 新型统一混沌系统的基本分析
2.1 新型统一混沌系统模型
本文提出的统一混沌系统的数学模型如式(1)所示。
LmaxLmin−1≤10%LmaxLmin−1≤10%
其中,x、y、z 均为系统的状态变量,a、b、c、d、e、h、g 均为实常数,
f(x,y) 为 y
2
或 x
2
或 xy 。 当 a=25 ,
b=25,c=0,d=16,e=1,h=6,g=1,f(x,y)=y
2
时,系统产生第一种新双翼混
沌吸引子;当 a=25,b=25, c=0,d=16,e=1,h=5,g=1,f(x,y)=x
2
时,系
统 产 生 第 二 种 新 双 翼 混 沌 吸 引 子 ; 当 a=0 , b=-5 , c=-1 , d=-10 , e=-
1 , h=2 , g=1 , f(x,y)=x
2
时 , 系 统 产 生 第 三 种 新 双 翼 混 沌 吸 引 子 ; 当
a=0,b=25,c=5,d=10, e=5,h=10,g=5,f(x,y)=xy 时,系统产生第四种
新双翼混沌吸引子。为叙述方便,将这 4 种参数条件下的统一混沌系统分别简
称为系统(1)、系统(2)、系统(3)和系统(4),4 种混沌吸引子的相图如图
1
所示。
特别地,当 c=0,b=a,f(x,y)=xy 时,所提统一混沌系统退化成 Ly u 系统;当
a=0,f(x,y)=y
2
时,系统退化成文献[17
]提出的混沌系统。采用奇异值分解的方
法可以 计算 出系 统(1) ~系统(4) 的 3 个 Lyapunov 指 数依 次为 1.378 、0.008
9 、 -16.379 , 1.983 、 0.021 1 、 -15.989 , 0.907 6 、 -0.016 4 、 -
7.891,3.208、0.024 9、-27.884。由于最大 Lyapunov 指数均为正数,此时 4
种吸引子均处于混沌状态。
2.2 平衡点及其稳定性分析
对于系统(1),当 c=0 和 f(x,y)=y
2
时,令式(1)的右边为零,求得平衡点分别
为
图 1
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