立体几何的证明问题在高中数学中占据重要地位,特别是在高考中是必考的题型。这类问题主要涉及证明线线、线面、面面之间的平行和垂直关系,其中垂直关系的证明尤其关键。掌握相关判定定理和性质定理是解决这类问题的基础,例如线面垂直的判定:一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于平面;面面垂直的判定:一个平面内的两条相交直线都垂直于另一个平面,则这两个平面垂直。
在第二十七练中,给出了几道典型的立体几何证明题,旨在帮助学生在二轮复习中提升解题能力,避免在高考中失分。例如:
1. 题目考察的是线面垂直和平行的关系。题目表明m垂直于平面α,而l⊥m并不能推出l∥α,因为l可能在平面α内,所以是必要不充分条件。
2. 这道题目讨论的是线线相交与面面相交的关系。如果两条分别位于不同平面的直线相交,则两个平面必然相交;反之,如果两个平面相交,线线可能相交也可能不相交,所以是充分不必要条件。
3. 题目涉及到菱形的性质和翻折问题。通过证明AC平行于EF,并利用线面垂直的性质,可以推导出AC垂直于HD',进一步求出五棱锥的体积。
4. 在四棱锥P-ABCD中,证明线面平行和面面垂直。通过构造点M(AD中点)并利用AD∥BC,可以证明CM∥平面PAB;再利用PA垂直于平面ABCD,以及BD与AB、CD的垂直关系,证明平面PAB垂直于平面PBD。
5. 此题同样涉及线面平行和面面垂直的证明。通过构造点T(BP中点),证明MN平行于平面PAB;然后计算四面体NBCM的体积,需要用到PA作为高来确定点N到平面ABCD的距离。
通过这些题目,学生可以深入理解立体几何的证明技巧,包括如何利用平行线、垂直关系、等比例定理以及中点性质等进行逻辑推理。同时,解决这些问题需要严谨的思维和清晰的几何直观,这对培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力至关重要。在复习阶段,应多做此类练习,以提高解答立体几何证明题的熟练度和准确度。