3.合流超几何函数 3.合流超几何函数
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2023-09-17
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Ü6‡AÛ¼ê
ò‡AÛ•§ (0.71) ¥ z †• z/b§,ر b§Òk
z
1 −
z
b
d
2
w
dz
2
+
h
γ − (α + β + 1)
z
b
i
dw
dz
−
αβ
b
w = 0.
d•§Û:´ 0, b, ∞§Ñ´KÛ:©y3XJ- b = β → ∞§K•§
z
d
2
w
dz
2
+ (γ − z)
dw
dz
− αw = 0. (1)
ù‡#•§•kü‡Û:µ0 Ú ∞¶cöE•KÛ:§ö´ü‡Û: (b=β Ú ∞) Ü
6§¤•šKÛ:©¤±•§ (0.92) ¡•Ü6‡AÛ•§©
Ü6‡AÛ•§3K Û: z = 0 ?•I• ρ = 0 Ú ρ = 1 −γ§ γ 6= ꞧ^?
ê){Œ±¦•§ü‡‚5Ã')•
w
1
(z) = F(α; γ; z) =
∞
X
n=0
1
n!
Γ (α + n)
Γ (α)
Γ (γ)
Γ (γ + n)
z
n
, (2)
w
2
(z) = z
1−γ
F(α − γ + 1; 2 − γ; z). (3)
Ù¥ F(α; γ; z) 3²¡)Û§¡•Ü6‡AÛ¼ê©w,§ α= KꞧF(α; γ; z) ò
z•õ‘ª©
kNõAϼêU^Ü6‡AÛ¼êL«©~Xl¼ê
J
ν
(z) =
1
Γ (ν + 1)
e
−iz
z
2
ν
F
ν +
1
2
; 2ν + 1; 2iz
, (4)
Jmþl¼ê
I
ν
(z) =
1
Γ (ν + 1)
e
−z
z
2
ν
F
ν +
1
2
; 2ν + 1; 2z
, (5)
Ø Γ ¼ê
γ(ν, z) =
1
ν
z
ν
F(ν; ν + 1; −z), (6)
ؼê
erf(z) =
2z
√
π
F
1
2
;
3
2
; −z
2
, (7)
™rÈ©
C(z) ± iS(z) = zF
1
2
;
3
2
; ±
iπ
2
z
2
, (8)
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