1.某软件公司的月销售额数据如表所示，其中，x为总公司的月销售额（万元），y为某分公司的月销售额（万元）。2.为了建立国家财政收入回归模型，我们以财政收入y（亿元）为因变量，自变量如下：为农业增加值（亿元），为工业增加值（亿元），为建筑业增加值（亿元），为人口数（万人），为社会消费总额（亿元），为受灾面积（万公顷）。从《中国统计年鉴》获得1978-1998年共21个年份的统计数据，如表所示。由定性分析知，所选自变量都与因变量y有较强的相关性，分别用后退法和逐步回归法做自变量选元。3.对第5章思考与练习中第9题财政收入的数据，分析数据点多重共线性，并根据多重共线性剔除变量，将所得结果与用逐步回归法所得的选元结果相比较。
### 多元线性回归分析及其多重共线性和自变量选择方法
#### 一、一元线性回归分析
在给定的案例中，我们首先分析了一家软件公司的月销售额数据，其中x代表总公司的月销售额（单位：万元），y表示某分公司的月销售额（单位：万元）。本部分的目标是通过这些数据建立一元线性回归模型，并讨论数据的相关性。
**1.1 最小二乘法**
- **模型建立**：通过最小二乘法建立了y与x之间的回归方程。根据给定的系数表，我们可以得知回归方程的具体形式。
- **自相关性检验**：通过绘制残差图和计算Durbin-Watson (DW) 统计量来检测模型中的自相关性。在本例中，DW值为0.663，低于2，这表明存在正自相关。进一步的DW表检验确认了这一结论。
**1.2 迭代法**
- **第一次迭代**：为了处理自相关问题，采用了迭代法。首先计算自相关系数ρ，并基于此系数变换因变量和自变量，再进行最小二乘回归。第一次迭代后的DW值为1.360，无法确定是否存在自相关，因此进行了第二次迭代。
- **第二次迭代**：第二次迭代后的DW值为1.696，表明不存在自相关。然而，考虑到第一次迭代后的决定系数R²更高，根据模型简约原则，选择了第一次迭代的模型作为最终模型。
**1.3 一阶差分法**
- **模型建立**：一阶差分法通过计算自变量和因变量的一阶差分来处理自相关问题。在本例中，这种方法并未显示出明显的优势。
**1.4 方法对比**
- **决定系数R²**：迭代法的R²高于一阶差分法，说明其拟合程度更好。
- **误差项标准差**：迭代法的误差项标准差更小，表明其预测准确性更高。
#### 二、多元线性回归分析
本部分涉及多元线性回归模型的建立，目标是分析财政收入（y）与多个经济指标之间的关系。自变量包括农业增加值（亿元）、工业增加值（亿元）、建筑业增加值（亿元）、人口数（万人）、社会消费总额（亿元）和受灾面积（万公顷）。
**2.1 后退法**
- **原理**：后退法是一种逐步移除变量的方法，从包含所有变量的模型开始，逐步剔除贡献最小的变量，直到所有剩余变量都是显著的。
- **实施步骤**：从全模型开始，逐步剔除了部分变量，最终得到了最优回归子集模型，即包含农业增加值、工业增加值和社会消费总额的模型。
**2.2 逐步回归法**
- **原理**：逐步回归法是通过逐步添加或删除变量的方式寻找最优回归子集，确保每次添加或删除变量后，模型的解释能力得到提升。
- **实施步骤**：从空模型开始，逐步添加变量，并在每一步中检查已加入变量的显著性。在本案例中，逐步回归法同样识别出了农业增加值、工业增加值和社会消费总额作为最优回归子集。
#### 三、多重共线性分析
**3.1 概念**
多重共线性是指多元线性回归模型中自变量之间存在较高的相关性。这种现象会导致回归系数估计值不稳定，降低模型的预测准确性。
**3.2 分析**
- **VIF值**：通过计算各个自变量的方差膨胀因子(VIF)来评估多重共线性的严重程度。一般来说，VIF值大于10表明存在严重的多重共线性。
- **处理方法**：在本案例中，可以采用逐步回归法或后退法来识别并移除导致多重共线性的变量。例如，在后退法中，移除了人口数和受灾面积这两个变量后，多重共线性的问题得到了缓解。
**3.3 结果比较**
- **逐步回归法**：逐步回归法不仅考虑了变量的显著性，还能有效避免多重共线性的影响。
- **后退法**：虽然后退法也能移除多重共线性的变量，但在本案例中，逐步回归法的结果更为优化。
通过一元线性回归和多元线性回归分析，我们不仅能够建立可靠的预测模型，还可以通过后退法和逐步回归法有效地处理多重共线性问题，从而提高模型的准确性和稳定性。
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