带通采样定理.pdf
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2021-12-25
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3.1.3 带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号， 这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。 若带通信
号的上截止频率为
H
f ，下截止频率为
L
f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率
H
f ，
可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理 3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在
),(
HL
ff
内的时间连续信号 )(tx ，信号带宽
LH
ffB ，令 NBfM
H
/ ，这里
N
为不大于 Bf
H
/ 的最大正整数。如果抽样频率
s
f 满足条件
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
，
10 Nm
（3.1-9）
则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 )(tx 。
对信号 )(tx 以频率
s
f 抽样后，得到的采样信号 )(
s
nTx 的频谱是 )(tx 的频谱经过周期延拓而
成，延拓周期为
s
f ，如图 3-3 所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号 )(tx ，必须
选择合适的延拓周期 （也就是选择采样频率） ，使得位于 ),(
HL
ff 和
),(
LH
ff
的频带分量
不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑 ),(
HL
ff 的频带分量不会出现混叠的条件。
在 抽 样 信 号 的 频 谱 中 ， 在 ),(
HL
ff 频 带 的 两 边 ， 有 着 两 个 延 拓 频 谱 分 量 ：
),(
sLsH
mffmff 和 ))1(,)1((
sLsH
fmffmf 。为了避免混叠， 延拓后的
频带分量应满足
LsL
fmff （ 3.1-10）
HsH
ffmf )1( （ 3.1-11）
综合式（ 3.1-10）和式（ 3.1-11）并整理得到
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
（ 3.1-12）
这里
m
是大于等于零的一个正数。如果
m
取零，则上述条件化为
Hs
ff 2 （ 3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。 但是 m 有一个上限， 因为
m
f
f
L
s
2
，
而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即 Bf
s
2 。
因此
B
f
B
f
f
f
m
LL
s
L
2
22
（ 3.1-14）
由于
N
为不大于 Bf
H
/ 的最大正整数，因此不大于 Bf
L
/ 的最大正整数为
1N
，故有
10 Nm
综上所述，要无失真的恢复原始信号
)(tx
，采样频率
s
f 应满足
m
f
f
m
f
L
s
H
2
1
2
，
10 Nm
（ 3.1-15）
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