主成分分析在数学建模中的应用.pdf资源-CSDN文库

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第一讲主成分分析在数学建模中的应用

1．学习目的

1. 理解主成分分析的基本思想；

2. 会用SAS软件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析；

3. 会用SAS软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。

2．学习要求

1. 理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤；

2. 会用SAS软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验；

3. 撰写不少于 3000 字的小论文；

4. 精读一篇优秀论文。

3. 理论基础

3. 1 基本思想

在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。但是，变量太多不但会增加

计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般来说，虽然

每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有

一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人

们希望对这些变量加以“改造” ，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变

量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分

析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。

3.2 基本原理

（1）. 总体的主成分

定义 1. 设

'

1 2

( , , )X X X

p

…,X 为 P 维随机向量，称

'

i i

Z a X 为 X 的第 i 主成分

（i=1,2, …P），如果：

(1)

'

1( 1,2, );

i i

a a i …,p

(2) 当 i>1 时，

'

0( 1,2, );

i j

a a j

…i-1

(3)

' '

'

1, 0( 1, )

( ) max ( )

j

i

a a a a j

Var Z Var a X

… i-1

定理 1. 设

'

1 2

( , , )X X X

p

…,X 是 P 维随机向量，且 ( )D X ，的特征值为

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