北京航空航天大学609数学专业基础2021年考研专业课初试大纲.pdf

### 北京航空航天大学609数学专业基础2021年考研专业课初试大纲知识点解析 #### 数学分析部分 ##### 一、极限论 - **数列极限与函数极限**: 深入理解数列极限和函数极限的概念，并能够灵活运用ε-N、ε-X、ε-δ语言来解决相关问题。 - **数列极限的性质**: 熟练掌握收敛数列的性质及其运算规则，理解数列极限的存在条件（如单调有界准则、迫敛性法则、柯西准则），并能够利用这两个重要极限（\(e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n\) 和 \( \sin x / x\) 的极限）解决实际问题。 - **无穷小量与无穷大量**: 掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质及相互关系，了解如何比较无穷小量的阶。 - **函数连续性**: 理解函数连续性的定义及其在点、区间上的含义，掌握间断点的分类以及单侧连续的概念。 - **闭区间上的连续函数性质**: 熟练掌握闭区间上连续函数的最大最小值性、有界性、介值性及一致连续性，并能应用这些性质解决问题。 - **实数连续性定理**: 理解闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理和有限覆盖定理等定理的含义及应用。 - **多变量函数的极限与连续性**: 理解平面点集的基本概念，掌握二元函数的极限、累次极限、连续性等概念。 ##### 二、微分学 - **导数与微分**: 掌握导数与微分的概念及其几何意义，能够熟练运用导数的运算性质和求导法则。 - **中值定理**: 熟练掌握中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）及其应用，能够将函数按泰勒公式展开。 - **函数的基本性质**: 掌握函数的单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线等性质，并能够绘制函数图像。 - **多元函数微分学**: 掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念，理解全微分、偏导数、连续之间的关系，会求多元函数的极值。 - **隐函数**: 理解隐函数的概念及存在定理，能够求出隐函数的导数，并掌握条件极值的求法。 ##### 三、积分学 - **不定积分与定积分**: 掌握原函数和不定积分的概念，能够熟练使用各种积分方法求解不定积分。 - **定积分的应用**: 理解定积分的几何和物理应用，掌握“微元法”，能够求解图形的面积、体积及物体的质量与重心等问题。 - **广义积分**: 掌握广义积分的收敛性判别方法，能够判断某些反常积分的收敛性。 - **含参变量积分**: 理解含参变量定积分和广义积分的概念与性质，掌握其一致收敛的判别方法。 - **曲线积分与曲面积分**: 掌握各类曲线积分和曲面积分的概念、性质及其计算方法，能够运用格林公式、高斯公式和斯托克斯公式进行计算。 ##### 四、级数论 - **无穷级数**: 理解无穷级数的基本概念，掌握收敛级数的性质，能够熟练应用敛散性判别法。 - **函数项级数与幂级数**: 掌握幂级数的收敛半径和收敛域，能够将函数展开成幂级数。 - **傅里叶级数**: 掌握傅里叶级数的基本概念，能够将一些函数展开成傅里叶级数。 #### 高等代数部分 ##### 一、整数与数域上多项式的基本理论 - **整数与多项式**: 理解整数与多项式的基本概念，掌握求最大公因式的Euclid算法。 - **多项式因式分解**: 掌握复数域及实数域上的多项式因式分解定理。 - **多项式函数**: 理解多项式函数的特点及根与系数的关系，了解有理系数多项式的性质及Eisenstein准则。 ##### 二、线性方程组 - **线性方程组求解**: 掌握求解线性方程组的方法，理解行列式与矩阵的基本概念，掌握矩阵的运算规则。 - **线性空间与子空间**: 理解线性空间与子空间的概念，掌握线性变换及其性质。 - **线性方程组的解**: 理解线性方程组的解集与向量空间之间的联系。 北航609数学专业基础课程大纲涉及了数学分析和高等代数两大领域，内容涵盖了极限论、微分学、积分学、级数论等多个方面，要求考生具备扎实的基础知识和较强的解题能力。备考过程中，考生需要深入理解每个知识点，并通过大量练习提高自己的解题技巧和速度。