广州大学高等数学1复习PPT-第2章第4节

高等数学是理工科学生必修的基础课程之一，其深度和广度都相当大。第二章第四节的内容主要涉及隐函数微分法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的导数，这些都是微积分中的重要概念。 我们来看隐函数的导数。隐函数是指那些不能直接表示为y=f(x)的形式，而是存在于某个方程中，如F(x, y)=0。对于这类函数，我们不能直接求导，但可以通过隐函数求导法则来解决。这个法则基于复合函数求导，即对等式F(x, y)=0的两边同时对x求导，然后解出关于y的导数dy/dx。例如，如果F(x, y)=x^2 + y^2 - 1，我们可以求得dy/dx=-2x/(2y)，这就是y关于x的导数。对于二阶导数，原理相同，只不过需要对dy/dx再求一次导。 接下来，对数求导法是一种巧妙的方法，尤其适用于处理复合函数或者幂指函数的导数问题。这个方法的关键是将函数表示为e的指数形式，然后通过对数性质进行求导。例如，对于y=x^sin(x)，我们可以先取对数，得到ln|y|=sin(x)ln|x|，再对x求导，从而得到y'的表达式。对数求导法可以简化求导步骤，尤其是在面对复杂的函数时。 对于由参数方程所确定的函数，我们往往需要找到这些参数方程与直角坐标系之间的关系。如果直接消参困难，可以利用参数函数的求导法则。例如，如果x=cos(t)，y=sin(t)，那么dx/dt=-sin(t)，dy/dt=cos(t)，我们可以求出y关于x的导数dy/dx，这需要用到链式法则和反函数的求导法则。如果参数方程二阶可导，还可以进一步求得二阶导数。 相关变化率问题涉及到两个变量之间变化的关系。例如，如果我们知道水面上升的速度，即水面高度h关于时间t的变化率dh/dt，我们可能需要求解水体积V关于时间t的变化率dV/dt。这里就涉及到了微积分中的链式法则和乘积法则，通过物理模型和数学公式将两者联系起来。 高等数学的这一部分涵盖了多元函数微分的核心内容，包括隐函数的导数计算、对数求导的应用、参数方程下的导数求解以及相关变化率问题的处理。这些知识不仅在理论学习中至关重要，也是解决实际工程问题和科学研究的基础工具。通过理解和掌握这些方法，学生能够提升解决问题的能力，为后续的数学学习和专业课程打下坚实基础。