Finite_Elements_Chapter_5.pdf

1、有限元法应该是在差分法基础上建立起来的。有限元法：对物理模型进行离散，网格划分不用规则，就是各种单元可以混合使用，所以写不出方程也可以求解。 2、差分法：划分的网格是规则的，对方程进行离散化，就是用很多个差分代替微分，用线性方程组代替微分方程的一种方法。学地质应该不用太区了解 基本原理，要注重分析的过程，和看懂分析结果才重要，地质毕竟也是实际的工程领域 有限元方法是数值计算中的一个核心概念，尤其在解决偏微分方程，如线性弹性动力学问题时，它显得尤为重要。有限元法源于差分法，但比后者更为灵活，因为它允许不规则的网格划分，使得各种形状的单元可以混合使用，即使无法写出完整的解析方程也能进行求解。 差分法是通过将连续区域划分为规则网格，并用差分近似微分来离散化微分方程。这种方法适用于简单的几何形状和边界条件，但当面对复杂的物理模型时，其灵活性不足。 在有限元方法（FEM）中，主要涉及以下几个关键步骤： 1. **弱形式/ galerkin表述**：将原始的偏微分方程转化为弱形式，这是通过将方程与测试函数v的内积来实现的。这通常涉及到将原方程乘以一个试验函数v，然后在域内对结果积分。试验函数v是任意的，满足一定的边界条件，而u是待求解的未知函数，称为试函数。 2. **有限元离散化**：接着，将连续域分解为互不重叠的子区域，即有限元。每个子区域由一个简单的形状函数来描述，这些形状函数能够近似任何在该区域内的连续函数。通过将试函数和测试函数用这些形状函数表示，可以将弱形式离散化为一组线性代数方程。 3. **Dirichlet边界条件**：在2D线性弹性方程的背景下，Dirichlet边界条件规定了在边界上的位移u等于已知值g。这在有限元方法中是必须考虑的，因为边界条件对于正确地约束问题至关重要。 4. **有限元方法**：通过上述步骤，最终得到的是一组关于未知节点位移的代数方程。这些方程可以利用矩阵运算求解，从而获得整个域内的位移场。 5. **更深入的讨论**：在实际应用中，还需要考虑如何选择合适的元素类型（如一阶矩形，三角形，或更高阶的元素），如何处理Neumann边界条件，以及如何优化网格以提高计算效率和精度等。 在2D线性弹性方程中，应力张量σ(u)和应变张量ϵ是通过Lamé参数λ和µ定义的，它们与位移梯度相关。应变张量反映了结构的局部变形，而应力张量则表示由于这种变形而产生的力。通过这两个张量，我们可以将微分方程转换为关于位移的代数问题，进而采用有限元方法求解。 有限元方法是一种强大的工具，它能处理复杂的几何形状和非均匀的物理属性，广泛应用于地质力学、土木工程、机械工程等领域。理解和掌握这一方法，对于进行精确的工程分析和决策至关重要。通过不断地学习和实践，工程师们可以利用有限元法解决实际工程中的各种难题。