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弹性力学数值方法：数值积分：数值积分误差分析与控制
1 弹性力学基础理论
1.1 弹性力学基本方程
在弹性力学中，基本方程描述了物体在受力作用下的变形和应力分布。这
些方程主要包括平衡方程、几何方程和物理方程，它们构成了弹性力学的核心。
1.1.1 平衡方程
平衡方程描述了物体内部的应力分布必须满足的力学平衡条件。在三维空
间中，平衡方程可以表示为：
∂
σ
x
∂
x
+
∂
σ
y
∂
y
+
∂
σ
z
∂
z
+
b
x
=
0
∂
τ
x
y
∂
x
+
∂
σ
y
∂
y
+
∂
τ
y
z
∂
z
+
b
y
=
0
∂
τ
x
z
∂
x
+
∂
τ
y
z
∂
y
+
∂
σ
z
∂
z
+
b
z
=
0
其中，
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
是正应力，
τ
x
y
,
τ
y
z
,
τ
x
z
是剪应力，
b
x
,
b
y
,
b
z
是体力在三个方向
上的分量。
1.1.2 几何方程
几何方程描述了物体的变形与位移之间的关系。在小变形假设下，几何方
程可以简化为：
ϵ
x
=
∂
u
∂
x
ϵ
y
=
∂
v
∂
y
ϵ
z
=
∂
w
∂
z
γ
x
y
=
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
γ
y
z
=
∂
v
∂
z
+
∂
w
∂
y
γ
x
z
=
∂
u
∂
z
+
∂
w
∂
x
其中，
ϵ
x
,
ϵ
y
,
ϵ
z
是线应变，
γ
x
y
,
γ
y
z
,
γ
x
z
是剪应变，
u
,
v
,
w
是位移分量。
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