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弹性力学基础：内力计算：平面应力和平面应变问题
1 弹性力学基础概念
1.1 应力与应变的定义
1.1.1 应力
应力（Stress）是材料内部单位面积上所承受的力，是描述材料受力状态的
重要物理量。在弹性力学中，应力分为正应力（Normal Stress）和切应力
（Shear Stress）。正应力是垂直于材料截面的应力，而切应力则是平行于材料截
面的应力。
� 正应力：
σ
=
F
A
，其中
F
是垂直作用于截面的力，
A
是截面面积。
� 切应力：
τ
=
F
A
，其中
F
是平行于截面的力，
A
是接触面积。
1.1.2 应变
应变（Strain）是材料在受力作用下发生的形变程度，通常用无量纲的比值
来表示。应变分为线应变（Linear Strain）和剪应变（Shear Strain）。
� 线应变：
ϵ
=
Δ
L
L
，其中
Δ
L
是长度变化量，
L
是原始长度。
� 剪应变：
γ
=
Δ
x
h
，其中
Δ
x
是剪切变形量，
h
是剪切变形的垂直距离。
1.2 胡克定律详解
胡克定律（Hooke’s Law）是描述材料在弹性范围内应力与应变之间线性
关系的基本定律。对于一维情况，胡克定律可以表示为：
σ
=
E
ϵ
其中，
σ
是应力，
ϵ
是应变，
E
是材料的弹性模量，也称为杨氏模量（Young’
s Modulus），它是一个材料属性，反映了材料抵抗弹性形变的能力。
1.2.1 平面应力和平面应变问题
在弹性力学中，平面应力（Plane Stress）和平面应变（Plane Strain）是两
种常见的简化模型，用于分析二维问题。
1.2.1.1 平面应力问题
平面应力问题通常发生在薄板或壳体结构中，其中厚度方向的应力可以忽
略不计。在这种情况下，应力和应变只在平面内考虑，即：
�
σ
x
,
σ
y
,
τ
x
y
为非零应力分量。
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