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弹性力学材料模型:弹塑性材料:塑性理论与屈服准则
1 弹性力学材料模型:弹塑性材料:塑性理论与屈服准则
1.1 绪论
1.1.1 弹塑性材料的基本概念
弹塑性材料是指在受力作用下,材料的变形分为两个阶段:弹性阶段和塑
性阶段。在弹性阶段,材料遵循胡克定律,应力与应变成线性关系,当外力去
除后,材料能完全恢复原状。进入塑性阶段后,材料的变形不再与应力成线性
关系,即使外力去除,材料也无法完全恢复到初始状态,这种永久变形称为塑
性变形。
1.1.2 塑性理论的历史发展
塑性理论的发展可以追溯到 19 世纪末,随着工业革命的推进,金属材料的
加工和使用变得日益重要,对材料在塑性状态下的行为研究也逐渐兴起。1901
年,Hencky 提出了塑性铰的概念,这是塑性理论早期的重要进展。随后,von
Mises 和 Tresca 分别在 1913 年和 1917 年提出了各自的屈服准则,奠定了塑性
理论的基础。20 世纪中叶,随着计算机技术的发展,塑性理论的数值模拟成为
可能,进一步推动了理论的发展和应用。
1.2 塑性理论与屈服准则
1.2.1 塑性理论
塑性理论主要研究材料在塑性变形阶段的应力应变关系,以及材料的流动
和硬化行为。塑性理论的核心是屈服准则和塑性流动法则。屈服准则是判断材
料是否进入塑性状态的条件,塑性流动法则描述了材料在塑性状态下的变形规
律。
1.2.2 屈服准则
屈服准则是塑性理论中的关键概念,用于判断材料是否达到塑性变形的起
点。常见的屈服准则有 Tresca 准则和 von Mises 准则。
1.2.2.1 Tresca 准则
Tresca 准则认为,当材料中的最大剪应力达到某一临界值时,材料开始屈
服。该准则的数学表达式为:
2
σ
m
a
x
−
σ
m
i
n
=
2
σ
y
其中,
σ
m
a
x
和
σ
m
i
n
分别是最大和最小主应力,
σ
y
是材料的屈服应力。
1.2.2.2 von Mises 准则
von Mises 准则基于能量原理,认为当材料的畸变能密度达到某一临界值时,
材料开始屈服。该准则的数学表达式为:
3
2
σ
d
:
σ
d
=
σ
y
其中,
σ
d
是应力偏量,
σ
y
是材料的屈服应力。
1.2.3 示例:von Mises 屈服准则的计算
假设我们有以下的应力张量数据:
stress_tensor = np.array([[100, 50, 0],
[50, 100, 0],
[0, 0, 0]])
我们可以使用 Python 和 NumPy 来计算 von Mises 应力:
import numpy as np
#
定义应力张量
stress_tensor = np.array([[100, 50, 0],
[50, 100, 0],
[0, 0, 0]])
#
计算应力偏量
stress_dev = stress_tensor - np.mean(np.diag(stress_tensor)) * np.eye(3)
#
计算
von Mises
应力
von_mises_stress = np.sqrt(3/2 * np.dot(stress_dev.flat, stress_dev.flat))
print(f"von Mises Stress: {von_mises_stress}")
在这个例子中,我们首先定义了一个应力张量,然后计算了应力偏量,最
后使用 von Mises 准则的公式计算了 von Mises 应力。这个计算结果可以帮助我
们判断材料是否达到了屈服状态。
1.3 结论
通过上述内容,我们了解了弹塑性材料的基本概念,以及塑性理论中屈服
准则的两种主要形式:Tresca 准则和 von Mises 准则。通过具体的代码示例,我
们还展示了如何使用 Python 和 NumPy 来计算 von Mises 应力,这对于工程设计
和材料选择具有重要的实际意义。
3
请注意,上述结论部分是应您的要求而省略的,但在实际的教程文档中,
结论部分通常用于总结关键点,强调学习成果,并可能提出进一步的研究方向
或实际应用建议。
2 塑性理论基础
2.1 塑性变形的微观机制
塑性变形是指材料在超过其弹性极限后,发生的不可逆变形。这种变形在
微观层面主要通过位错的运动来实现。位错是晶体结构中的线缺陷,当外力作
用于材料时,位错沿着滑移面移动,导致材料发生塑性变形。位错的运动受到
材料内部的障碍物(如晶界、第二相粒子等)的影响,这些障碍物可以阻碍位
错的移动,从而提高材料的强度。
2.2 塑性本构关系
2.2.1 理论概述
塑性本构关系描述了材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。在塑性
阶段,材料的应力-应变曲线不再是线性的,而是呈现出复杂的非线性行为。塑
性本构关系通常包括塑性流动准则、塑性硬化模型和塑性势函数。
2.2.2 塑性流动准则
塑性流动准则定义了材料开始塑性变形的条件,即屈服准则。最常用的屈
服准则是 von Mises 屈服准则和 Tresca 屈服准则。
2.2.2.1 von Mises 屈服准则
von Mises 屈服准则基于能量理论,认为材料屈服是由于剪切变形能的积累。
在三维应力状态下,von Mises 屈服准则可以表示为:
σ
v
=
3
2
σ
′
:
σ
′
≥
σ
y
其中,
σ
v
是 von Mises 应力,
σ
′
是应力偏张量,
σ
y
是材料的屈服强度。
2.2.2.2 Tresca 屈服准则
Tresca 屈服准则基于最大剪应力理论,认为材料屈服是由于最大剪应力达
到某一临界值。在三维应力状态下,Tresca 屈服准则可以表示为:
σ
T
=
max
|
τ
i
j
|
≥
σ
y
其中,
σ
T
是 Tresca 应力,
τ
i
j
是剪应力分量,
σ
y
是材料的屈服强度。
4
2.2.3 塑性硬化模型
塑性硬化模型描述了材料在塑性变形后强度的变化。常见的塑性硬化模型
包括理想塑性模型、线性硬化模型和非线性硬化模型。
2.2.3.1 理想塑性模型
理想塑性模型假设材料在屈服后强度保持不变,即材料没有硬化效应。
2.2.3.2 线性硬化模型
线性硬化模型假设材料在屈服后强度随塑性应变线性增加,可以表示为:
σ
y
=
σ
y
0
+
H
ϵ
p
其中,
σ
y
0
是初始屈服强度,
H
是硬化模量,
ϵ
p
是塑性应变。
2.2.3.3 非线性硬化模型
非线性硬化模型假设材料在屈服后强度随塑性应变非线性增加,通常使用
幂律硬化模型表示:
σ
y
=
σ
y
0
+
H
ϵ
n
p
其中,
n
是硬化指数。
2.2.4 塑性势函数
塑性势函数用于描述材料塑性流动的方向。在塑性理论中,塑性流动的方
向通常与应力状态的梯度方向成正比,即遵循最大剪应力方向。塑性势函数可
以是 von Mises 势函数或 Tresca 势函数,分别对应 von Mises 屈服准则和 Tresca
屈服准则。
2.3 塑性流动理论
塑性流动理论是塑性力学的基础,它描述了材料在塑性阶段的应力-应变行
为。塑性流动理论通常包括增量理论和全量理论。
2.3.1 增量理论
增量理论假设材料的塑性变形是增量的,即在每一小时间步内,材料的塑
性变形可以视为瞬时的。增量理论适用于分析材料在动态载荷下的塑性行为。
2.3.2 全量理论
全量理论假设材料的塑性变形是累积的,即材料的塑性变形是整个加载历
史的函数。全量理论适用于分析材料在静态载荷下的塑性行为。
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