弹塑性理论习题.docx

### 弹塑性理论知识点解析 #### 2-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。试证明齿尖上完全没有应力。 **知识点：** - **尖齿效应**：在实际工程结构中，由于几何形状的变化，如尖齿的存在，会导致局部应力集中现象。在特定条件下，某些区域可能会出现零应力的现象。 - **应力分析方法**：利用弹性力学的基本原理，结合边界条件进行应力分析。 **解析：** 对于带有尖齿的平板，通过理论分析和数学推导可以证明，在特定条件下（例如平板的拉伸方向垂直于尖齿的方向），尖齿的顶端会出现零应力的状态。这通常涉及到对尖齿处应力分布的精确计算以及边界条件的应用。 #### 2-2 物体中某点的应力状态为，求三个不变量和三个主应力的大小。 **知识点：** - **应力不变量**：包括第一不变量 \(I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z\)，第二不变量 \(I_2 = \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_x - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{zx}^2\)，第三不变量 \(I_3 = \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx} - \sigma_x\tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{zx}^2 - \sigma_z\tau_{xy}^2\)。 - **主应力**：在三维应力状态下，通过旋转坐标系使得所有切应力分量消失，从而得到的三个正应力即为主应力。 **解析：** 首先根据给定的应力状态计算三个应力不变量，然后利用这些不变量来求解三个主应力。主应力可以通过解特征方程获得： \[ (\sigma - \sigma_x)(\sigma - \sigma_y)(\sigma - \sigma_z) - I_1\sigma + I_2 = 0 \] 这里 \(\sigma_x\)、\(\sigma_y\) 和 \(\sigma_z\) 分别是给定应力状态中的三个正应力分量。 #### 2-3 有两个坐标系，试证明两个坐标系之间的转换关系。 **知识点：** - **坐标变换**：通过旋转和平移等操作实现坐标系之间的转换。 - **旋转矩阵**：描述坐标系之间旋转关系的数学工具。 **解析：** 对于两个坐标系之间的转换，通常涉及旋转矩阵的应用。如果已知两个坐标系之间的相对位置和旋转角度，可以构建旋转矩阵来进行坐标变换。具体步骤包括确定旋转轴和旋转角度，然后根据这些参数构造旋转矩阵。 #### 2-4 M点的主应力为。一斜截面的法线v与三个主轴成等角，求斜截面上的应力分量。 **知识点：** - **主应力与主轴**：在任何一点的应力状态中，存在一组特殊的方向，使得在这些方向上只存在正应力，这些方向称为主轴，对应的正应力称为主应力。 - **斜截面上的应力**：通过旋转坐标系的方法，可以计算出任意斜截面上的应力分量。 **解析：** 给定M点的三个主应力后，可以利用斜截面法线与主轴之间的夹角来计算斜截面上的正应力和切应力。具体的计算方法基于斜截面法线与主轴之间的夹角以及主应力的大小。 #### 2-5 已知某点的应力状态为，求该点主应力的大小和主轴方向。 **知识点：** - **主应力与主轴**：同上。 - **主轴方向的计算**：通过解特征方程来确定主轴方向的单位矢量。 **解析：** 计算主应力及其方向的过程类似于2-2节中的方法。通过求解特征方程得到主应力，然后根据特征向量来确定主轴方向。 #### 2-6 同2-5，求该主应力的大小和主轴方向。 **知识点：** - **主应力与主轴**：同上。 **解析：** 该题目解析方法与2-5相同。 #### 2-7 已知某点的应力状态为过该点斜截面法线的方向余弦为,试求斜截面上切应力的表达式。 **知识点：** - **斜截面上的应力**：同2-4。 **解析：** 斜截面上的切应力可以根据斜截面法线的方向余弦和给定的应力状态来计算。具体的计算公式涉及到应力张量和方向余弦的点积运算。 #### 2-8 物体中某点的应力状态为求该点主应力的大小和主轴方向。 **知识点：** - **主应力与主轴**：同2-5。 **解析：** 该题目解析方法与2-5相同。 #### 2-9 已知物体中某点的应力状态为，斜截面法线的方向余弦为，试求斜截面上切应力的大小。 **知识点：** - **斜截面上的应力**：同2-7。 **解析：** 斜截面上切应力的大小计算方法与2-7相同。 #### 2-10 半径为的球，以常速度在粘性流体中沿轴方向运动。球面上点A（）受到的表面力为，，，式中为流体的静水压力。试求球所受的总力量。 **知识点：** - **流体力学**：研究流体在不同条件下的行为，包括压力、速度等物理量的变化规律。 - **表面力**：作用于物体表面的力，如流体对物体表面的压力。 **解析：** 球在粘性流体中运动时，受到流体对其表面的作用力。根据给定的表面力表达式，可以计算出球所受的总力量。计算过程涉及积分操作，考虑球体表面各个点上的受力情况，并将其累加起来。 #### 2-11 已知物体中某点的应力状态为，斜截面法线的方向余弦为，试证明斜截面上的正应力及剪应力分别为、。 **知识点：** - **斜截面上的应力**：同2-7。 **解析：** 通过应用应力张量和方向余弦的点积运算，可以证明斜截面上的正应力和剪应力的表达式。 #### 习题3 **知识点：** - **均匀变形**：整个物体内部各点的应变都相同时的情况。 - **应变**：物体在外部力的作用下发生的变形程度。 - **拉格朗日应变**：描述固体材料变形的一种方式，主要用于大变形情况。 **解析：** 3-1 节中介绍了均匀变形的概念，并探讨了在均匀变形条件下，原曲面的形态问题。对于均匀变形，原曲面必须满足一定的几何条件才能在变形后变成球面。 3-2 节讨论了一个不可能的应变状态的证明，涉及应变状态的物理可行性判断。 3-3 节讨论了非均匀加热条件下物体内部应变的变化规律。 3-4 至 3-18 节分别探讨了应变和应力之间的关系、弹性力学基本方程等内容。 3-13 节介绍了如何使用主应力偏量来表示米泽斯屈服条件。 3-14 节探讨了薄壁圆筒在内压和轴向拉应力作用下的屈服条件。 3-15 节讨论了薄壁圆筒在轴向拉伸和扭转联合作用下的屈服条件。 #### 习题4 **知识点：** - **应力应变关系**：描述材料在外力作用下应力与应变之间的关系。 - **弹性力学基本方程**：包括平衡方程、几何方程和物理方程，用于描述弹性体的力学行为。 **解析：** 4-1 节介绍了对各向同性材料的应力应变关系，并证明了应力主轴与应变主轴的一致性。 4-2 至 4-6 节进一步讨论了应力法在解决弹性力学问题中的应用。 #### 习题5 **知识点：** - **弹塑性材料**：材料在一定条件下表现出弹性行为，而在另一些条件下则表现出塑性行为。 - **极限弯矩**：结构在承载能力丧失前能够承受的最大弯矩。 - **塑性极限弯矩**：结构进入塑性状态时的弯矩。 **解析：** 5-1 节探讨了不同截面形状的杆件在受弯时塑性极限弯矩与弹性极限弯矩之比的关系。 5-2 至 5-6 节分别讨论了不同形状杆件在受力时的弹塑性特性，包括弹性核、弹塑性分界线的确定等。 以上是针对给定文件中的部分习题知识点的详细解析，旨在帮助理解弹塑性理论中的核心概念和技术。