分析数学中一种重要的运算。设f(x), g(x)是R1上的两个可积函数,作积分:Image:卷积.jpg可以证明 ,关于几乎所有的x∈(-∞,∞) ,上述积分是存在的。这样,随着x的不同取值 ,这个积分就定义了一个新函数h(x),称为f与g的卷积,记为h(x)=(f *g)(x)。容易验证,(f *g)(x)=(g *f)(x),并且(f *g)(x)仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,L1(R 1)1空间是一个代数,甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ,(x)表示L1(R)1中f和g的傅里叶变换,那么有如下的关系成立:(f *g)∧(x)=(x)·(x),即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系,使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数(f *g)(x),一般要比f ,g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数,f 为局部可积时,它们的卷积(f *g)(x)也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数 , 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs(x),这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还 可以推广到数列 、测度以及广义函数上去
特别具体的内容,你可以随便找一部 信号与线性系统方面的教材阅读。
首先,再提到卷积之前,必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的,脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的,除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分(或求和,离散情况下)。
信号与线性系统,讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化(就是输入 输出 和所经过的所谓系统,这三者之间的数学关系)。所谓线性系统的含义,就是,这个所谓的系统,带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
因此,实际上,都是要根据我们需要待处理的信号形式,来设计所谓的系统传递函数,那么这个系统的传递函数和输入信号,在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况,就是在信号与线性系统或数字信号处理 中的卷积定理。利用该定理,可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算,从而利用FFT等快速算法,实现有效的计算,节省运算代价。
评论11