成考-专升本-高数(一)教程

【成考专升本高数(一)教程】主要涵盖了函数、极限、连续性、一元函数微分学等核心概念。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **函数**： - 函数是数学中一种关系，表示一个集合中的元素如何与另一个集合中的元素对应。了解函数的定义、表示法（如解析式、图像）和分段函数的概念。理解函数的性质，包括单调性（递增或递减）、奇偶性（偶函数和奇函数）、有界性（函数值域的上限和下限）和周期性（周期函数的特点）。 - 掌握反函数的定义，即原函数的逆关系，以及反函数的图像特点，特别是单调函数的反函数求解。 2. **极限**： - 数列极限是数列项随着序号无限增加趋近于某个特定数值的过程。理解数列极限的定义，如唯一性、有界性、四则运算法则，以及如何通过夹逼定理和单调有界数列极限存在定理来求极限。 - 函数极限是函数值在某点附近无限接近某一数值。掌握函数在一点处的左极限、右极限以及极限存在的条件，理解极限的性质，如四则运算法则，并能运用这两个重要极限（如ln(1+x) / x 和 (1+x)^n / n! 当 x 趋于0时的极限）来求极限。 3. **连续性**： - 函数在某点连续意味着在该点的极限值等于函数值，理解连续性、左连续和右连续的定义，以及函数在某点连续的充分必要条件。了解连续函数的性质，如连续函数的四则运算、复合函数和反函数的连续性。掌握在闭区间上连续函数的性质，如有界性定理、最大值和最小值定理（有界性和最值原理）以及介值定理（包括零点定理），并能利用这些性质解决实际问题。 4. **一元函数微分学**： - 导数是衡量函数变化率的概念，理解导数的定义、几何意义（切线斜率）和物理意义（速度或加速度）。掌握求导法则，包括基本导数公式、四则运算、反函数、复合函数、隐函数、对数求导法和参数方程下的求导。了解高阶导数的定义和计算。 - 微分是导数的线性近似，理解微分的定义、微分与导数的关系以及微分法则（一阶微分形式不变性）。 - 学习微分中值定理，包括罗尔定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem），以及它们在证明方程根的存在性和不等式中的应用。掌握洛必达法则（L'Hôpital's Rule）用于解决未定式极限问题。 - 应用导数来判断函数的单调性，找到函数的极值（极大值和极小值）和最值，以及确定曲线的凹凸性、拐点、水平渐近线和铅直渐近线。 这个教程旨在帮助成考专升本的学生全面理解并掌握高等数学的基础知识，为后续的学习和实际问题的解决打下坚实基础。通过深入学习和练习，学生应能熟练运用这些概念和方法解决复杂的数学问题。