数字拓扑学是数学的一个分支，它主要研究数学空间结构的性质，这些性质在连续变形（如拉伸、压缩、扭曲）下保持不变。在图像处理领域，数字拓扑学为理解图像的几何和拓扑结构提供了理论基础。而欧拉-庞加莱特性（Euler-Poincaré characteristic，简称欧拉数），作为数字拓扑学的重要参数之一，是衡量图像拓扑特征的关键指标。
三维图像的欧拉数代表了一个三维图像的拓扑特征，它将三维结构中的连通分量、孔洞和空腔数量进行量化。三维欧拉数可以分为三维表面欧拉数和三维体欧拉数，分别对应于图像表面和内部结构的拓扑特性。三维表面欧拉数和三维体欧拉数之间的关系，可以通过拓扑学中的Gauss-Bonnet定理来描述，但这种关系在非流形结构中可能不再成立。三维图像的欧拉数通常可以由三个Betti数表示，分别是b0（连接体数）、b1（孔洞数）、b2（空穴数），其中孔洞数和空穴数反映了图像中空洞和空腔的存在。
为了计算三维图像的欧拉数，传统的方法往往依赖于全局测量，即通过分析整个图像的拓扑结构来确定欧拉数。然而，全局方法存在无法实现局部计算的局限性，这意味着我们无法将计算任务分解为各个网格片的子任务，从而难以应用于实时或在线图像处理场景。为了克服这一问题，研究人员开始探索基于局部性质计算三维图像欧拉数的方法。
例如，Gray和Park的算法以及Morgenthaler的算法都是基于局部性质计算三维图像欧拉数的例子。这些算法通过分析图像的局部连接性来计算欧拉数，它们适用于不同邻域连接的场景。Saha提出的新方法则侧重于三维图像中前景分量、管道和空穴数量的变化。Serra基于代数拓扑学的凸环性质提出了自己的计算公式。本文作者则从一个新的角度出发，引入了三维图段和三维相邻数的概念，并给出了新的局部计算三维图像欧拉数的方法。
在三维图像表示方面，通常会使用3D立方块来表示三维数字图像，图段的定义是三维图像中任意切片内的某一行中被0或图像边界所分隔的值为1的单个或多个像素块。图段的大小由其游程表示，最小为1，最大不超过行的长度。图段的概念有助于简化三维图像的局部性质分析。
在描述三维图段和相邻数的基础上，本文作者提出了一种新的方法，该方法通过定义三维图段和三维相邻数来考虑邻域连接的复杂性，并提供了新的局部计算三维图像欧拉数的公式。这为局部计算三维图像的欧拉数提供了新的途径，有助于更方便、高效地处理三维图像数据。虽然这些方法和公式在形式上可能相似于前人的研究，但本文作者的工作在研究思路和公式内单项的几何意义上具有独到之处。这种方法不仅能够提高三维图像欧拉数计算的实用性，而且可以为数字拓扑学在图像处理领域的应用提供新的理论支持和工具。
三维图像的欧拉-庞加莱特性是数字拓扑学在三维图像分析中应用的核心特征之一。对三维图像欧拉数计算方法的研究，不仅有助于我们更好地理解图像的拓扑结构，还有助于开发高效的图像处理算法。通过引入新的概念和方法，我们能够更有效地处理和分析复杂的三维图像数据。这些研究成果对于计算机视觉、图像分析、机器学习等领域具有重要的意义和应用价值。
