2014
年
9
月
第
29
卷第
3
期
山东师范大学学报(自然科学版)
Journal of Shandong Normal University( Natural Science)
Sep.2014
Vo
l. 29 No.3
一类非线性脉冲切换系统的稳定性结果*
许峰
傅希林*非
(山东师范大学数学科学学院，
250014
，济南)
摘要
笔者主要研究脉冲切换系统，利用平均驻留时间和多个
Lyapunov
函数方法研究了含有不稳定子系统的脉冲切换系统
的稳定性，得到了系统零解的稳定性的若干结果，并给出了相关例子.
关键词
非线性脉冲切换系统;
驻留时间技巧;
多个
Lyapunov
函数;
稳定性
中图分类号
o
175.21
文献标识码
A
doi:
10.
3969/j.
is
盹
1001
-4748.2014.03.001
1
sl
切换系统是由一组连续或离散动态子系统组成，并按某种切换规则在各个子系统间切换的动力系统.切换系统具有这样
的性质:即使每一个子系统都是不稳定，通过构造合适的切换规则，也可保证系统的稳定性;反之，即使每一个子系统稳定，切
换规则选的不合适，系统也可能不稳定
[IJ
目前，切换系统在计算机磁盘控制系统、机械控制、航天航空交通控制、化工过程、
无线电通讯和电力大系统等领域都有着广泛的应用.近年来，由于切换系统在改善系统性能方面的作用以及满足智能控制飞
速发展的需要，学术界对其表现出了很大兴趣，一些比较好的结果己经取得，尤其是关于稳定性方面的
[1
-5J
然而在实际切换过程中，系统往往存在切换脉冲，在这种情况下，由于脉冲的出现系统会产生了复杂的动力学行为.文献
[9]
提出一种新型模型，即脉冲切换系统.这种模型在
PWM
( Pulse. width
modulated)
脉宽调制变换器控制，机庆工作模型切换
控制等具有瞬时切换脉冲的系统中能更准确的描述实际情况.本文我们将主要利用多个李雅普诺夫函数法
(Multiple
Lyapunov
functions)
和平均驻留时间法
(Average
dwell - time)
，研究一类同时包含稳定子系统和不稳定子系统的非线性脉冲切换系统的
稳定性.
2
预备知识
设
R
表示实数集，~
+表示非负实数集，71.
+表示全体正整数集，~
n
表示赋予
Euclidean
模
11
•
11
的
n
维实向量空间.
本文主要考虑如下脉冲切换系统
\~州巾川
(υω
川
t)
ÅX(
t
吵
)
=1
ι
k(t
儿
，
x(t))
，
x(t
乌川
oρ)
= x
o
,
其中
X(t)E~n
表示是系统(1)的状态向量
;hk(t
，
X):~
+ x
~
n
→~
n ;lk:
~
+ x
~
n
→~
n
，
且对
Vt
注
O
，
k
ε
7l.
+有
，
h
k
(t
,
O)
=0.
Ik(t
,
O)
=O.Åx(t)
=x(t+)
-x(t-)
,
x(t-)
= lim
x(t
-v)
,
x(t+)
= lim
x(t
+v).
lim
x(t
k
+v)
=x
(t
n
=x(t
k
)
，
这意味着脉冲
v--+û
+
V--+O
+户。+
t
二
~to
，
t
笋
t
k
，
t=t
k
,
kE
71.+,
、、白白目，，，
喃自
A
(
切换系统(1)的解是右连续的
.σ
(t):[t
o
，+
∞)→
P=11
，
2
，...
，
NI
是分段定常的切换信号，其中
N
表示子系统的个数
，
P
称
为指标集
.
t
k
(k
E
7l.
+)表示是脉冲跳跃时刻同时也是切换时刻
.
to
是初始时刻，
t
o
< t
l
< t
2
< … < t
k
<. . .
，且
JiJEh=+
∞假设
对任意儿
σ
(
t
，)
并
σ(
tι+
1 )
，且在有限区间内，切换系统只发生有限次切换.
本文我们主要考虑含有不稳定子系统的脉冲切换系统，因此我们假设脉冲切换系统(1)同时包含稳定的子系统和不稳定
的子系统.不失一般性，我们把指标集
P
分为
P
，
和
P
U
，
其中
P
，
表示稳定子系统的指标集
'P
U
表示不稳定子系统的指标集.对
于任意切换规则，我们定义
T+(to
，
t)
和
r(to
，
t)
分别表示在区间
[to
，
t)
内，稳定子系统总的驻留时间和不稳定子系统总的驻
留时间.
记
x(
t)
=
x(
t ,t
o
，
x
o
)
为脉冲切换系统(
1
)满足
x(to)
=xo
的任意解，人们
，
x)
,!
k ( t ,
x)
满足某些条件，以保证系统(1)的解
整体存在.
给出如下的定义
收稿日期
:2014
-
01
-
21
*国家自然科学基金资助项目
(11171192)
;教育部博士点专项科研基金(博导类)项目
(20123704110001).
*
*通讯作者，男，教授，博士生导师.
1
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