本文探讨了半群理论中的一个重要概念——正则子半群，并研究了由正则子半群所决定的半群上的子半群格的结构。半群理论是代数学的一个分支，它研究半群的性质和结构，包括半群的各种子结构。半群是由一个集合和定义在该集合上的一个结合二元运算组成的代数结构。正则子半群指的是满足特定条件的子半群，它在研究半群的性质和分类中具有重要地位。
文中提出的正则子半群概念是基于有序代数学上的正则性背景，并结合了半群自身特性。研究结果表明，半群上的子半群格在某些条件下可以成为完全分配格。完全分配格是一种特殊的格结构，在这种结构中，对于格的任意子集，其并集可以通过对每个元素进行运算来达到。这对于理解半群的代数结构有重要意义，因为完全分配格能够提供一种描述半群内部复杂结构的清晰框架。
文章还探讨了比正则性更为广义的紧致性概念。紧致性在数学中是一个基本概念，它可以应用于不同的数学领域，包括拓扑学和代数学。在这里，紧致性涉及到半群中的元素集合及其子集所构成的偏序集。紧致性为半群理论提供了新的视角，有助于研究半群的性质。
半群理论的研究受到了群论、环论、模论、格论以及偏序代数系等代数分支的推动。许多重要结果往往是从这些分支中模拟而来的。特别是，模、格等代数系统的模拟为研究半群的自身结构提供了有力的方法。
文中还引入了自由生成的概念，这在格论中是一个重要的概念。自由生成指的是在格中构造一个子集，使得原格可以由这个子集按照某些规则生成。自由生成是理解和操作复杂格结构的基础。
文章通过引入正则子半群的概念，证明了在半群上子半群格成为完全分配格的几个充要条件。这不仅为半群理论增加了新的内容，也为解决半群理论中的问题提供了新的工具和方法。
文中还通过定理和引理的形式，给出了正则子半群与完全分配格之间关系的严格证明。例如，定理2.1和定理2.2以及相关的推论表明，半群上每个不含特定元素的子半群都可以扩充为正则子半群。这意味着在半群的结构中，可以通过正则子半群来表示和操作其他子半群。
在具体操作上，文章通过定义和证明了正则子半群在半群上的覆盖关系，进一步深入探讨了半群上的子半群格结构。通过这种方式，可以将半群上复杂的子半群关系转化为更为有序的格结构。
此外，文章还提出了R(S)的符号表示，它代表了半群S上所有正则子半群的全体集合。通过研究R(S)，可以更好地理解半群内部的正则性质和结构。这也为研究半群上的正则子半群提供了工具。
本文的研究对于半群理论的发展具有重要意义，它不仅丰富了半群理论的内容，也推动了半群理论在代数学乃至整个数学领域的发展。通过将正则性、紧致性和完全分配格等概念应用于半群的研究，本文为理解和操作半群结构提供了新的方法和视角。
