矩阵方程AXB=C的反对称解问题 (2003年)

### 矩阵方程AXB=C的反对称解问题 #### 概述 本文探讨了矩阵方程\(AXB = C\)的反对称解问题，并通过矩阵的广义奇异值分解给出了最小二乘问题\(\min_{X \in -X} \|AXB - C\|_F\)解的一般表达式。此外，还从两个不同的角度分析了该矩阵方程存在反对称解的充分必要条件。 #### 关键概念与背景 1. **广义奇异值分解（GSVD）**：是一种适用于两个矩阵的分解方法，可以看作是标准奇异值分解的推广。它可以帮助我们更好地理解矩阵之间的关系，并为解决特定类型的矩阵方程提供工具。 2. **Frobenius范数**：对于任何矩阵\(A\)，其Frobenius范数定义为\(\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i,j}a_{ij}^2}\)，它是矩阵元素绝对值平方和的平方根。 3. **反对称矩阵**：如果一个矩阵\(X\)满足\(X^T = -X\)，则称其为反对称矩阵。这类矩阵在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。 4. **Penrose定理**：提供了矩阵方程的解的存在性和唯一性条件。在本文中，Penrose定理被用来研究矩阵方程\(AXB = C\)与\(X^T = -X\)的相容性。 #### 引理与定理 **引理1.1** 提供了一个关于寻找最小化\(\|\tilde{X}A - G\|_F\)的反对称矩阵\(\tilde{X}\)的方法，其中\(\tilde{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)是对称矩阵，而\(G \in \mathbb{R}^{n \times n}\)是给定的矩阵。具体地，存在唯一的反对称矩阵\(\tilde{X}\)，该矩阵可以通过公式\(\tilde{X} = \Phi (\tilde{G}A - AG^T \tilde{G})\)来计算，其中\(\Phi\)是由矩阵元素的特定函数组成的矩阵。 **引理1.2** 描述了两个矩阵方程\(AXB = E\)和\(CXD = F\)具有共同解的充分必要条件。这个条件可以通过一系列矩阵运算得出，并给出了一般公共解的表达式。 **定理2.1** 是本文的核心内容之一，它利用矩阵对\((A, B^T)\)的广义奇异值分解来研究矩阵方程\(AXB = C\)存在反对称解的问题。该定理首先给出了\((A, B^T)\)的广义奇异值分解的形式，并定义了一些关键变量，如\(k, r, s\)等。接着，基于这些定义，该定理提供了判断矩阵方程是否存在反对称解的充分必要条件。 #### 具体分析 - **矩阵方程的解**：通过对矩阵\(A\)和\(B\)进行广义奇异值分解，可以有效地求解矩阵方程\(AXB = C\)。这种解法不仅适用于方程本身，还可以用于最小二乘问题，即找到使\(\|AXB - C\|_F\)最小化的反对称矩阵\(X\)。 - **反对称解的存在性**：通过定理2.1中的条件，可以判断给定的矩阵方程是否存在反对称解。这涉及到矩阵的秩、广义奇异值等性质。 - **Penrose定理的应用**：Penrose定理为研究矩阵方程的相容性提供了理论支持。通过该定理，可以推导出矩阵方程\(AXB = C\)与\(X^T = -X\)同时成立的充分必要条件，从而进一步确定反对称解的存在性。 本文通过矩阵的广义奇异值分解和Penrose定理深入探讨了矩阵方程\(AXB = C\)的反对称解问题，不仅给出了最小二乘问题的解的一般形式，还提出了判断反对称解存在的充分必要条件，为相关领域的研究者提供了重要的理论依据和技术支持。