第 卷第 期 吉 林 大 学 学 报 理 学 版 ＶｏｌＮｏ
年 月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｓｅｐ
核 实 数 据 下 的 递 归 核 密 度 估 计
宇世航
赵世舜
齐齐哈尔大学 理学院 黑龙江 齐齐哈尔 吉林大学 数学学院 长春
摘要 基于替代与核实数据样本下的总体密度函数估计问题 定义一个递归型核密度的估计
量 它包含替代数据和核实数据两种信息 并证明了该估计量的渐近正态性模拟结果表明
给定样本总数 Ｎ 的情况下 模拟效果随核实数据样本容量 ｎ 的增加而渐好 当固定核实数据
样本容量 ｎ 时 顶部随样本总量 Ｎ 的增加模拟效果渐好 尾部变差 如果同时增大 Ｎ 和 ｎ
模拟结果更趋近于 ｆｘ 并且也更平滑
关键词 递归核密度估计 渐近正态 核权函数
中图分类号 Ｏ文献标志码 Ａ文章编号
Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ Ｋｅｒｎｅｌ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｄｅｎｓｉｔｙ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ Ｄａｔａ
ＹＵ Ｓｈｉｈａｎｇ
ＺＨＡＯ Ｓｈｉｓｈｕｎ
Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ Ｃｈｉｎａ
Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ａｎｄ ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｄａｔａ ａ
ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｋｅｒｎｅｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｓｏ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｒｉｓｅ ｂｏｔｈ ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ａｎｄ
ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｎｏｒｍａｌＴｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ
ｉｎｄｉｃａｔｅ ａｔ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｆ Ｎ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄａｔａ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｂｅｔｔｅｒ ａｓ ｔｈｅ ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｔｅ
ｎ ｉｎｃｒｅａｓｅｓＡｌｓｏ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ ｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｂｅｔｔｅｒ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｏｐ ａｓ Ｎ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｂｕｔ ｂｅｃｏｍｅｓ
ｂａｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔａｉｌＷｅ ａｌｓｏ ｎｏｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ａｓ Ｎ ａｎｄ ｎ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｍｏｒｅ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ
ｔｈｅ ｆｘ ａｎｄ ｉｓ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｋｅｒｎｅｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｎｏｒｍａｌ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
收稿日期
作者简介 宇世航 女 汉族 硕士 副教授 从事非参数统计推断和时间序列分析的研究 Ｅｍａｉｌ ｑｑｈｒｙｓｈｃｏｍ
基金项目 国家自然科学基金 批准号 教育部人文社会科学研究一般项目 批准号 ＹＪＡＺＨ和黑龙江省教育厅
科研项目 批准号
基于替代数据和核实样本推断的研究目前已有许多结果
Ｓｅｐａｎｓｋｉ 等
研究了基于核实数据
的非线性 ＥＶ 模型 Ｗｏｌｖｒｅｔｏｎ 等
提出了 ｆｘ的递归型核密度估计
ｆ
ｎ
ｘ
ｎ
ｎ
ｊ
ｈ
ｊ
Ｋ
ｘ Ｘ
ｊ
ｈ
ｊ
由于递归型核密度估计在添加样本点时 不必重新计算所有项 只需计算添加项 因此使计算更方便
基于此 本文考虑借助于核实数据 构造一递归型概率密度估计量 并研究其渐近正态性
１主要结果
令完整数据集包括 Ｎ 个观测数据 假设其中有 ｎ 个独立同分布的核实观测数据Ｘ
ｉ
Ｘ
ｉ
ｉＶ
和
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