第 ３７ 卷 ／第 ５ 期 ／
２０１３ 年 ９ 月
河北师范大学学报／自然科学版／
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＥＢＥＩ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ／Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ／
Ｖｏｌ ．３７ Ｎｏ ．５ 後
Ｓｅｐ ．２０１３
收稿日期 ：２０１２‐１０‐２５ ；修回日期 ：２０１３‐０４‐０６
基金项目 ：河北省自然科学基金（Ａ２０１１２０５０９２）
作者简介 ：郝 玲 （１９７４ ） ，女 ，河北隆化人 ，讲师 ，从事分数阶积分微分方程数值解的研究 ．
小 波 法 求 解 非 线 性 分 数 阶 偏 微 分 方 程
郝 玲
１
， 牛红玲
１
， 成福伟
２
， 尹建华
１
（１ ．河北民族师范学院 数学与计算机系 ，河北 承德 ０６７０００ ；２ ．河北民族师范学院 科研处 ，河北 承德 ０６７０００）
摘 要 ：考虑一类非线性分数阶偏微分方程的数值解法 ．Ｈａａｒ 小波具有正交性 ，区域的有界性以及小波函数
的可计算性 ．将 Ｈａａｒ 小波与算子矩阵思想进行结合 ，恰当离散初始方程 ，使非线性分数阶偏微分方程转换为非线
性代数方程组 ，进而可以编程求解 ，最后 ，数值算例验证了方法的有效性 ．
关键词 ：非线性 ；分数阶导数 ；Ｈａａｒ 小波 ；算子矩阵 ；数值解
中图分类号 ：Ｏ ２４１ ．８ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１０００‐５８５４（２０１３）０５‐０４５３‐０５
Ｗａｖｅｌｅｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐａｒｔｉａｌ
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｏｒｄｅｒ
ＨＡＯ Ｌｉｎｇ
１
， ＮＩＵ Ｈｏｎｇｌｉｎｇ
１
， ＣＨＥＮＧ Ｆｕｗｅｉ
２
， ＹＩＮ Ｊｉａｎｈｕａ
１
（１ ．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，Ｈｅｂｅｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ ，Ｈｅｂｅｉ Ｃｈｅｎｇｄｅ ０６７０００ ，Ｃｈｉｎａ ；
２ ．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ，Ｈｅｂｅｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ ，Ｈｅｂｅｉ Ｃｈｅｎｇｄｅ ０６７０００ ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ．Ｔ ｈｅ Ｈａａｒ ｗａｖｅｌｅｔ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｓｍａｌｌ ｂｏｔｔｌｅ ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙ ，ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍ‐
ｐ
ｕｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ．Ｗｅ ｃｏｍｂｉｎｅ ｔｈｅ Ｈａａｒ ｗａｖｅｌｅｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｄｉｓ‐
ｃｒｅｔｉｚｅ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ．Ｓｏ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｑｕａ‐
ｔｉｏｎｓ ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｗ ｓｏｌｖａｂｌｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｓｏｆｔｗａｒｅ ．Ｆｉｎａｌｌｙ ，ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ
ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ；Ｈａａｒ ｗａｖｅｌｅｔ ；ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
最近十几年 ，分数阶导数在生物学 、流体力学 、物理学等科学领域有着非常重要的作用 ，很多实际问题都
可转化为分数阶微分积分方程 ．分数阶偏微分方程是经典的整数阶偏微分方程的发展 ．比起整数阶微分方
程 ，分数阶微分方程的特点是能更精确地描绘自然界的动态系统过程
［１‐３］
．分数阶方程应用于实践 ，关键在于
分数阶的数值计算 ，然而分数阶方程的理论分析及其数值分析却往往很难 ．因而 ，求解分数阶积分 、微分方程
一直是学者们研究的重要内容 ，一般情况下直接求解分数阶积分微分方程的解析解比较困难 ，在此之前很多
学者对分数阶常微分方程 、偏微分方程 、积分方程提出了很多数值解法 ，如 Ａｄｏｍａｉｎ 分解方法 、变分迭代法 、
微分迭代法等
［４‐５］
．
近些年来 ，小波理论是一门新兴的数学理论 ．作为一种新的数学分支 ，它已经被广泛应用到各种领域 ，如
图像处理 、信号分析 、小波去噪 、数值分析等
［６］
．就数值分析而言 ，小波理论主要研究对给定函数的近似表示 ，
表示给定函数的小波称之为小波基函数 ．根据不同函数的性质 ，有不同的小波基函数 ．目前 ，最简单 、最实用
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