在MATLAB中进行线性回归分析是数据建模和预测的一种常见方法，尤其适用于处理线性关系的数据集。本主题将深入探讨如何使用梯度下降法来实现平方误差最小化的线性回归拟合。
线性回归是一种统计学方法，旨在找到一条直线（在一维情况下）或超平面（在多维情况下）来最佳地拟合数据点，这条直线或超平面称为回归线。在MATLAB中，线性回归的目标是找到权重向量`w`，使得模型函数`y = w' * x`与观测数据尽可能接近。这里的`x`是输入特征向量，`y`是对应的输出目标值。
梯度下降法是一种优化算法，常用于求解损失函数最小化的问题。在线性回归中，我们通常采用平方误差作为损失函数，即 `(y - w' * x)^2`。通过迭代更新权重向量`w`，使其沿着损失函数梯度的反方向移动，我们可以逐渐减小误差并达到最小化平方误差的目标。
在文件`gradient_descent_opt.m`中，可能包含了以下核心步骤：
1. 初始化：我们需要为权重向量`w`选择一个初始值，这通常是随机选择的。
2. 计算梯度：损失函数关于`w`的梯度表示了函数在当前点上的变化率。对于平方误差损失函数，梯度是`(2 * (y - w' * x) * x)`。
3. 更新权重：根据梯度的反方向和学习率（步长）更新`w`，公式为`w = w - learning_rate * gradient`。学习率决定了每次迭代时权重改变的程度。
4. 判断停止条件：如果梯度足够小或者达到预设的最大迭代次数，算法停止。
在实际应用中，可能会有一些优化策略，例如使用动量项来加速收敛，或者调整学习率以适应训练过程中的损失变化。此外，还可以使用批量梯度下降、随机梯度下降或小批量梯度下降等不同版本的梯度下降算法，它们在计算梯度和更新权重时采用不同的样本子集。
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MATLAB中的线性回归利用梯度下降法进行优化，这是一种强大的工具，能够处理各种大小和复杂性的数据集。通过理解和实现这一过程，可以提高预测模型的准确性和泛化能力，为数据分析和决策提供有力支持。
