在深入探讨拟牛顿法在有限极大极小问题中的应用之前，首先需要了解极大极小问题的基本概念。极大极小问题（MMP）指的是寻找使得某些给定函数的最大值最小化的解的问题。这类问题在非光滑优化领域具有重要地位，因为它们通常涉及的函数在某些点上是不可微的，尤其是在极大值点。这类问题在多个实际应用领域中出现，比如工程优化设计、电子线路优化设计、计算机辅助设计及最优控制等。
为了解决这类问题，学术界提出了多种方法。其中一些方法通过引入变量来将问题转化为可微约束优化问题，另一些方法则是构造逼近极大值函数的近似函数，使其变得可微或光滑化，如Charalambous提出的广义最小p阶函数及其修正形式。李兴斯使用凝聚函数逼近极大值函数的方法，以及直接利用现有光滑无约束优化算法和软件求解，虽然它们各有优势，但也存在某些局限性，如求解病态问题的困难，或在效率和收敛速度上的不足。
特别地，Pironneau和Polak提出了一种直接求解极大极小问题的算法，但该方法仅具有线性收敛速度。相比之下，其他一些研究尝试了具有二阶收敛速度的牛顿法，但要求在Danskin点（函数的梯度方向上定义的特殊点）处满足严格互补条件，这对于实际应用来说太过严格。之前的文献[4]已经探讨过，即使不假设严格互补条件，牛顿法也具有超线性收敛性（3/2阶收敛速度），但本文将介绍一种新的拟牛顿法。
拟牛顿法是一种迭代优化算法，用于寻找多变量函数的局部最小值。拟牛顿法的基本思想是通过迭代使用目标函数的近似值来逼近真实的Hessian矩阵（二阶偏导数矩阵），并利用近似的Hessian或其逆矩阵来更新解的估计值。拟牛顿法不需要直接计算Hessian矩阵，而是通过迭代过程中收集的信息来逼近它。因此，拟牛顿法避免了复杂的矩阵运算，使得算法在计算上更加高效。
在本文中，提出的拟牛顿法不需要假设在Danskin点处满足严格互补条件，从而允许算法在更广泛的实际问题中得以应用。作者证明了这种方法不仅具有超线性收敛速度，而且拥有全局收敛的性质。这一发现对于非光滑优化问题的求解具有重要意义。
拟牛顿法的具体实现通常涉及一种被称为Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)的方法。BFGS是一种流行的拟牛顿法变体，它通过一个称为Hessian矩阵近似的矩阵来逼近真实的Hessian矩阵。BFGS方法的优势在于它既能够快速收敛到局部最小值，又能够保持数值稳定性。该算法通过更新步骤中的搜索方向，并在每次迭代中逼近Hessian矩阵，最终收敛到最优解。
算法的实现中，首先需要确定一个初始点，并选择一个初始的近似Hessian矩阵。然后，算法将通过迭代的方式更新搜索方向，直至满足收敛条件或达到最大迭代次数。每次迭代，算法计算新的点，并更新近似Hessian矩阵。这一过程将重复进行，直到找到一个足够接近真实最小值的点。
本文还提出了一个局部拟牛顿法的具体算法实现。在该算法中，首先计算出一个初始的解估计值x0和初始的近似Hessian矩阵B0。之后，通过在每一步计算出新的解xk+1，并更新近似Hessian矩阵。这一迭代过程利用了目标函数的近似值珚Ψ(xk,x)，该近似值是基于当前解和新点之间的关系计算得出的。算法1中的步骤保证了算法的超线性收敛速度和全局收敛的性质，因此对于极大极小问题而言，这无疑是一种强有力的求解工具。
总结来说，拟牛顿法在处理极大极小问题时提供了一种既高效又灵活的算法，特别是在不需要严格互补条件的情况下。本文的工作为研究者们提供了一个新的、强大的数学工具来解决非光滑优化问题，特别是在实际应用中的极大极小问题，为后续的研究和工程实践打下了坚实的基础。
