求解二维定常不可压N-S方程的一种有效解法 (2010年)

在流体力学和计算力学领域，纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，简称N-S）方程是描述流体运动的基本方程。该方程组是基于牛顿第二定律来表达流体运动的连续性方程、动量方程和能量方程。由于这类方程的非线性和复杂性，解析求解几乎仅限于一些特殊简单的情况，而大多数实际问题都需要采用数值方法来求解。 本文介绍了一种有效的差分方法来求解二维定常不可压缩流体的N-S方程。在数值求解中，有限差分方法是核心技术之一，其基本思想是将连续的偏微分方程通过在时间和空间上离散化来近似求解。有限差分方法有很多格式，如显式格式、隐式格式以及交替方向隐式(ADI)格式等。显式格式虽然简单易实现，但在稳定性方面存在限制；而隐式格式具有更好的稳定性，但计算过程较为复杂。 本文提出的方法基于ADI格式，并对其进行了适当的改进，即对流项采用了中心差分方法。中心差分是一种二阶精度的差分格式，相较于迎风差分算子，其数值稳定性有显著提高。在时间项上，该方法采用了Crank-Nicolson格式，这种格式结合了前向差分和后向差分的特征，能够达到二阶时间精度和空间精度，同时在数值上是无条件稳定的。 文章进一步介绍了人工可压缩方法的应用。由于N-S方程在求解压力-速度形式时面临困难，主要问题在于连续性条件必须始终满足，并且缺乏直接给出的压力控制方程和边界条件。为了克服这些困难，引入了人工可压缩方法。该方法最初由Vladimirova和Chorin提出，适用于求解定常状态下的流体问题，并可视为求解定常问题的特殊迭代方法。其核心思想是引入一个人工的可压缩项到连续性方程中，使得方程具有定常解。参数C的选择至关重要，需要确保在任何初始条件下都能收敛到定常流动的数值解。然而，人工可压缩方法的参数选择不当可能导致数值困难，因此其应用范围限于计算定常解时使用。 为了提高计算的精度和稳定性，本研究采用了MAC网格（Marker And Cell）来布置计算网格。MAC网格是用于流体模拟的一种特殊网格类型，特别是在处理复杂的流动边界和自由表面时具有优势。通过在时间和空间上采用有限差分离散化技术，将N-S方程转化为离散的代数方程组，然后使用迭代法求解。 文章通过具体算例验证了所提出方法的有效性。对一个特定的钝体绕流问题进行了数值模拟，并得到了不同雷诺数下的流场变化情况。分析表明，数值结果与实际流场吻合良好，证实了该格式在实际应用中是稳定有效的。 通过上述算法的改进与实现，求解二维定常不可压N-S方程变得更为高效和稳定。这不仅对计算流体力学的基础研究有着重要的意义，同时对于工程实践中的流体设计和分析也具有较高的应用价值。