拟线性Schrödinger方程是一类重要的非线性偏微分方程，在数学物理中有广泛的应用，特别是在量子力学和非线性光学中。这类方程的基本形式为：
i∂tu + Δu + V(x)u + g(|u|^2)u = 0
其中i是虚数单位，u是复值函数，表示粒子的波函数或者电磁场的复振幅，V(x)是势能项，g(|u|^2)u代表非线性相互作用项，g是一个实值函数，通常假定它相对于|u|^2是单调非减的。
在数学研究中，研究者们关注的一个核心问题是一类拟线性Schrödinger方程非平凡解的存在性。非平凡解指的是不等于零的解，是物理现象的真实反映。在很多情况下，非线性偏微分方程的解的存在性很难证明，尤其是在没有所谓的(Arizona)条件（简记为(AR)条件）的情况下，也就是说，不存在任何关于非线性项的全局条件。山路引理和Lions引理是研究非线性偏微分方程解的存在性的重要工具。
山路引理，有时也被称为mountain pass引理，是变分法中的一个重要定理，它提供了一种寻找泛函临界点的方法，特别是当泛函不满足Palais-Smale条件时。山路引理在存在性问题中发挥着关键作用，因为它可以帮助我们找到一个临界值，这个临界值对应着原方程的解。
Lions引理是关于弱收敛序列的，这个引理可以用来证明在一定条件下，当序列在某个空间中弱收敛到函数时，序列的非线性项的极限可以被提取出来，并且这个极限与原序列的非线性项保持一定的关系。
在这篇文章中，作者提出了一种研究拟线性Schrödinger方程非平凡解存在性的方法。该方法不依赖于(AR)条件，而是通过变量替换，结合山路引理和Lions引理，证明了在满足一定的增长条件和周期条件下，拟线性Schrödinger方程存在非平凡解。文章中的条件(h1)-(h4)是对方程中非线性项和势能项的具体要求。例如，(h1)要求对于任意的x属于RN，当s趋向于无穷大时，势能项V的行为；(h2)要求存在一个p值，使得势能项V在无穷远处的衰减是关于s的某个次幂的。
在文章中，作者首先证明了在应用变分方法时定义在一定空间上的泛函是有界的，进而利用山路引理得到方程的非平凡解。这个证明过程涉及到了能量泛函的定义、其临界点的寻找，以及通过山路引理来证明临界点的存在。
文章中还提到了对方程中非线性项和势能项的具体要求，以及在特定条件下非平凡解的存在性。这包括了一些定量的条件，比如函数V和g的增长速率，以及它们在无穷远处的行为，这些都是确保方程解存在性的重要条件。
该论文提供了一种在不依赖于(AR)条件的情况下，利用山路引理和Lions引理来研究拟线性Schrödinger方程非平凡解存在性的一种有效方法，这对于数学物理中的很多问题的解决具有非常重要的意义。
