强对合矩阵是在对合矩阵的基础上进一步提出的一个新的概念，它不仅保留了对合矩阵的基本性质，还具备了更多独特的特征。在深入讨论强对合矩阵之前，首先需要了解对合矩阵的基本概念。对合矩阵定义为一个方阵，如果它的平方等于单位矩阵，即满足\(A^2 = E\)，其中\(E\)表示单位矩阵。强对合矩阵是在此定义上的扩展，其平方为一个对角矩阵且对角线上元素全部为正数，具体地，如果一个矩阵满足\(A^2 = D = \text{diag}(d_1, d_2, ..., d_n)\)，且每个\(d_i > 0\)（\(i = 1, 2, ..., n\)），则称此矩阵为强对合矩阵。由此可知，所有可逆主对角矩阵均为强对合矩阵。
在探讨强对合矩阵的性质时，首先可以确认的是强对合矩阵必为非奇异矩阵，且其行列式不为零。这是因为强对合矩阵平方后得到的对角矩阵\(D\)的行列式不为零，从而可知原强对合矩阵\(A\)的行列式也不为零。
强对合矩阵的转置矩阵\(A^T\)和次转置矩阵\(A^{ST}\)也都是强对合矩阵。转置矩阵是指原矩阵行列互换后得到的矩阵，而次转置矩阵指的是矩阵的行与列进行互换之后再进行转置所得到的矩阵。强对合矩阵的这些变换性质体现了其内在的对称性和结构性。
除了转置矩阵和次转置矩阵，强对合矩阵的伴随矩阵也满足强对合矩阵的定义。伴随矩阵是一个方阵，其每个元是原矩阵对应元的代数余子式，该矩阵的行列式值等于原矩阵的行列式值的幂次。
另一个重要的性质是，强对合矩阵的逆矩阵也是强对合矩阵。矩阵的逆是指在乘法运算中可以使得原矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。这一性质说明强对合矩阵在矩阵运算中具有良好的稳定性和一致性。
此外，如果一个强对合矩阵中的元素乘以一个非零标量，那么结果仍然是一个强对合矩阵。这表明强对合矩阵在数乘变换下具有不变性，是一种标量不变的结构。
强对合矩阵和次强亚正交矩阵之间存在密切的联系。次强亚正交矩阵是一种特殊的矩阵，其自身与其次转置矩阵的乘积等于一个对角矩阵。根据文中所述，如果一个强对合矩阵的次转置矩阵等于其本身，则这样的矩阵即是次强亚正交矩阵。
在预备知识部分，文中用R表示实数域，E表示n阶单位矩阵，AT表示矩阵的转置，而A*表示方阵A的伴随矩阵。对于对角矩阵D和其定义Q(D)的讨论，则为深入理解和应用强对合矩阵提供了基础。
对于强对合矩阵的深入研究，可以推动矩阵理论的发展，尤其是在矩阵运算性质、矩阵分解以及在数学物理、工程学等领域的应用。通过理解和掌握强对合矩阵及其相关性质，可以为处理具有对称性质的复杂问题提供理论基础，解决实际问题时的计算和结构设计。
强对合矩阵的概念深化了对对合矩阵的理解，丰富了矩阵理论的内容，并且在矩阵运算和结构设计方面提供了新的工具和方法。
