一种带约束条件的集值映射的一致线性次正则性 (2012年)

在Asplund空间中，研究了一种带约束条件的有限个集值映射的一致线性次正则性问题。Asplund空间是一类特殊的Banach空间，具备某些良好的光滑性质，例如：其每个点上都存在切线空间。在这类空间中，集值映射可以推广为将一个空间映射到另一空间的集簇，这在优化理论和变分分析中尤为常见。集值映射的研究有助于解决数学规划中一些非凸情形下的优化问题。 在该论文中，作者首次给出了一致线性次正则性问题在Asplund空间中的研究。次正则性是研究映射的性质时常用的一个概念，它关注的是映射在某点的局部行为。具体到线性次正则性，它是研究映射在其值域中某一方向上，对于微小的输入变化的输出变化大小。如果一个集值映射满足一致线性次正则性，那么它在给定的约束条件下，对于输入空间中的任何足够小的扰动，其输出值空间的扰动也保持线性关系。 研究中提出，在次微分形式下，给出了一致线性次正则性的一个必要条件。这表示如果一个集值映射具有线性次正则性，那么在某点上的次微分也应当满足某些特定条件。次微分是泛函分析中用于研究函数局部行为的一种工具，它考虑的是函数在某点的局部线性近似。对于集值映射而言，次微分需要被扩展为一组元素，即所谓的极限次微分。极限次微分描述了函数在某点附近，当输入点序列趋向于该点时，函数值变化速率的集合。 进一步，在假设次光滑的前提下，通过变分分析方法，得到了一致线性次正则性的一个充分条件。次光滑是一个比光滑性更强的条件，它要求函数不仅光滑，而且其高阶导数也存在。在次光滑的假设下，可以通过变分分析方法来研究集值映射在某些特定约束下的性质。这里所说的变分分析是指利用微分和积分等工具来研究函数的局部和全局性质的一种数学分析方法。 该论文还探讨了诸如极限法锥、极限次微分、次光滑、一致线性次正则等概念，并用它们来刻画映射的局部性质。极限法锥和极限次微分是研究函数局部性质时常用的工具，极限法锥用于研究函数在某点附近的行为，而极限次微分则是对函数在某点的局部变化率进行刻画。这些概念的引入，为研究Asplund空间中的集值映射提供了一套系统的方法。 文中提到的数学规划中的误差界、度量次正则性、weak sharp minimum等问题，都是对优化问题的解的性质进行深入研究的结果。而这些问题在Asplund空间中的研究对于设计高效算法和了解优化问题的深层次性质至关重要。 该论文中的研究成果对于泛函分析领域，特别是Asplund空间的研究，具有一定的理论和实际意义。它不仅扩展了对集值映射性质的研究，而且为非凸优化问题的解提供了新的视角。在实际应用中，这种研究能够指导我们更好地理解和解决复杂的优化问题，比如机器学习、工程设计、经济模型优化等。此外，该论文的研究还可能激发后续对相关领域更深入的探索，例如非凸集值映射的度量次正则性、线性次正则性等研究。