三次非均匀有理B样条曲线G2连续的充分条件 (2002年)

在计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称CAGD）领域，光滑拼接问题至关重要。光滑拼接允许设计者通过组合曲线段和曲面片来构建复杂模型，从而满足各种工业设计的需要。光滑拼接要求曲线或曲面在拼接处不仅是连续的，而且在几何和视觉上看起来是无缝连接的。G2连续是一种光滑性条件，它在数学上表达了曲线在拼接点的切线向量和曲率向量的连续性。本文研究的焦点是三次非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS）曲线，在CAGD中，NURBS曲线因其在表示平滑曲线和曲面方面的强大能力而广泛应用。 NURBS曲线是B样条曲线的一种推广，它通过引入权因子来控制曲线的形状。与均匀B样条不同，NURBS允许每个控制点有自己的权重，这使得NURBS曲线可以更灵活地表示复杂形状。三次NURBS曲线意味着控制点的多项式次数为3。本文所提及的非均匀指的是节点向量是非等距的，这种非均匀性使得NURBS曲线可以更加精确地控制形状细节。 为实现NURBS曲线之间的光滑拼接，必须满足一定的连续性条件。GO连续条件是最基本的，它保证了曲线在拼接点的端点相接。G1连续条件要求曲线在拼接点不仅端点相接，还要有共同的切线方向，这通常意味着曲线在拼接点处是一阶可导的。而G2连续条件是更高阶的光滑性条件，它要求曲线在拼接点不仅有共同的切线，还有相同的曲率，这意味着曲线在拼接点处是二阶可导的，这对于实现视觉上无缝的平滑拼接是非常关键的。 本文的主要贡献是给出了两条三次非均匀有理B样条曲线在G2连续下的一个充分条件。这是通过设置控制点、节点向量以及对应的权因子来实现的。在文中定义了两条曲线B(u)和C(v)，通过德布尔-考克斯递推公式定义了B样条基函数，进而给出了B(u)和C(v)的表达式。在这个基础上，通过数学推导给出了G1和G2连续条件的具体形式。 在G2连续的充分条件中，首先保证了GO条件和G1条件，即曲线在拼接点端点相连和切线共线。在此基础上，进一步要求权因子和控制点满足特定的几何关系，从而保证了曲线在拼接点的曲率也相同。特别地，定理1和定理2的证明是通过控制点序列和权因子的特定组合来满足这些几何关系的。例如，定理1指出，如果曲线B(u)和C(v)在GO连续条件下，它们的控制点bn和co应该相等。定理2进一步给出了G1连续的具体条件，涉及到额外的几何和权重约束。 这些条件对于计算机辅助几何设计的实际应用非常关键。在设计汽车、飞机或其他产品时，经常需要将多段曲线或曲面拼接起来形成一个整体。为了确保最终产品在视觉上的和谐和功能性上的精度，对这些曲线和曲面施加G2连续的条件是至关重要的。由于CAGD软件广泛应用于工程设计、建筑、动画制作等领域，因此对这些光滑拼接条件的研究具有重要的理论和实际意义。 在本文中，作者车翔玫提供了深入的数学分析和证明，为NURBS曲线的G2连续条件做出了贡献。文章最后还提到，该理论研究可以拓展到三维空间以及NURBS曲面上，这为处理更复杂设计中的光滑拼接问题提供了可能。尽管本文主要讨论了三次NURBS曲线的光滑拼接，但该理论同样适用于更高次的B样条曲线，为计算机辅助几何设计的进一步研究和实践提供了坚实的基础。