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非线性 Sobolev 方程的两层网格有限元方法

陈传军

1,2

，李康

湘潭大学数学与计算科学学院，湘潭 411105

烟台大学数学与信息科学学院，烟台 264005

摘要：本文用两层网格有限元法研究了非线性 Sobolev 方程。两层网格算法是在网格大小为

H 粗网格空间中求解非线性系统，然后在网格大小为 h 的细网格空间中求解线性系统。该方

法与标准的有限元方法相比，在减少工作量的同时，节省了大量的 CPU 时间，而且保持较高

的精度。同时给出了 H

-模的最优阶误差估计，并证明了两层网格方法的有效性。当网格尺寸

满足 h = O(H

) 时，两层网格有限元方法可以得到最优收敛阶。

关键词：计算数学，非线性 Sobolev 方程，两层网格，有限元方法，误差估计

中图分类号： O241.82

Two-grid ﬁnite element methods for nonlinear

Sobolev equations

Chen chuan-jun

1,2

, LI Kang

School of Mathematics and Computational Science, University of Xiangtan, Xiangtan

411105

School of Mathematics and Information Sciences, University of Yantai, Yantai 264005

Abstract: In this paper, the nonlinear Sobolev equation is studied by using the two-grid

ﬁnite element method. The two-gird algorithm is used to solve nonlinear systems in a

coarse-grid space with a mesh size of H, and then to solve a linear system in a ﬁne-grid space

space with a mesh size of h. The method is compared with the standard ﬁnite element

method. It saves a lot of CPU time and keeps high precision. At the same time, the optimal

order error estimate of H

-norm is given, and the validity of the two-gird method is proved.

When the mesh size satisﬁes h = O(H

), the optimal convergence order can be obtained by

the two-grid ﬁnite element method.

Key words: computational mathematics, nonlinear Sobolev equations, two-grid, ﬁnite

element method, error estimates.

Foundations: 国家自然科学基金 (11571297)，山东省自然科学基金 (ZR2014AM003)

Author Introduction: 陈传军（cjchen@ytu.edu.cn），男，教授，主要研究方向：微分方程数值解法。第二作者：李康（1993-

），男，硕士研究生，主要研究方向：微分方程数值解法。

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0 引言

有限元方法发展的历史, 可以追溯到 1943 年 Courant 提出在一个三角形内的线性逼近思

想, 而从变分原理来离散化数学物理问题. 20 世纪 50 年代西方工程师们提出的结构矩阵分析

方法被发展成为后来的有限元, 尤其是 20 世纪 60 年代后, 愈来愈多的数学家涉足这个领域, 使

得有限元的发展纳入数学的轨道. 国际上公认中国数学家冯康独立提出了有限元方法并且证明

了收敛性问题, 这个工作比西方 Zlamal(1968) 的文章早 4 年. 两层网格有限元方法最初是由许

进超教授关于线性 (非对称或非定) 和非线性椭圆方程所作的论文 [1, 2] 中提出的. 该方法基于

粗细两个有限元空间 S

和 S

, 首先在粗网格 (网格大小为 H) 上求解一个非线性问题, 然后

在细网格 (网格大小为 h) 上将非线性问题转化为线性问题进行求解, 显著提高了求解效率. 与

此同时, 黄云清和陈艳萍 [3] 提出了一个多水平迭代法, 不仅减少了计算工作量, 而且具有较高

的精度. 后来该方法被广泛研究. 例如, 毕春加以及 V. Ginting [4, 5] 使用两层网格有限体积元

方法研究了线性和非线性椭圆问题以及使用间断 Galerkin 方法研究了拟线性椭圆问题. 陈传军

等人 [6, 7, 8] 使用两层网格有限体积元方法对非线性以及拟线性抛物方程进行了研究.

1 两层网格有限元方法

1.1 方程简介及其条件

设 Ω ⊂ R

是一个有界凸多边形区域，其边界为 ∂Ω，用 u

来表示

∂u

∂t

, x = (x

, x

), f (u)

是 Ω 上给定的实值函数. 下面考虑二维非线性 Sobolev 方程的初边值问题











− ∇ · (a(u)∇u

+ b(u)∇u) = f(u), (x, t) ∈ Ω × (0, T ],

u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ],

u(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω.

(1)

我们假设系数 a(u) 和 b(u) 均为充分光滑的函数, 令 a(u)

来表示

∂

∂t

a(u). 常数 a

(i = 0, 1, 2)

以及 b

(i = 0, 1) 满足

0 < a

≤ a(u) ≤ a

, |a(u)

| ≤ a

, 0 < b

≤ b(u) ≤ b

, ∀u ∈ C(Ω × [0, T ]). (2)

同时，我们也假设 a(u), b(u) 以及 f(u) 满足利普希茨连续条件, ∀u, v ∈ C(Ω × [0, T ]),

|a(u) − a(v)| ≤ L|u − v|, (3)

|b(u) − b(v)| ≤ L|u − v|, (4)

|f(u) − f (v)| ≤ L|u − v|, (5)

其中 L 是一个正常数.

对于问题 (1)解的存在性, 唯一性以及稳定性, 我们可以参考 [9, 10, 11].

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