python实现最速下降法

本文实例为大家分享了python实现最速下降法的具体代码，供大家参考，具体内容如下 代码： from sympy import * import numpy as np def backtracking_line_search(f,df,x,x_k,p_k,alpha0): rho=0.5 c=10**-4 alpha=alpha0 replacements1=zip(x,x_k) replacements2=zip(x,x_k+alpha*p_k) f_k=f.subs(replacements1) df_p=np.dot([df_.subs(replaceme 最速下降法(Steep Descent Method)是优化算法中的一种基本方法，主要用于求解无约束的函数极小化问题。它的核心思想是沿着梯度的反方向进行迭代，每次迭代选择一个合适的步长（Step Size或Learning Rate），使得目标函数值下降最快。在机器学习和数值计算中，最速下降法常用于训练模型参数的优化。 在给定的Python代码中，实现了最速下降法的关键部分，包括回溯线搜索(Backtracking Line Search)和梯度计算。下面将详细介绍这些内容： 1. **回溯线搜索(Backtracking Line Search)** 回溯线搜索是一种常见的选择步长的技术，它确保了在每一步迭代中，目标函数的值至少下降一定的比例。在代码中，`backtracking_line_search`函数实现了这一过程： - `rho`是退缩因子，通常取值在0到1之间，如0.5。 - `c`是一个常数，用来确保函数的下降率，这里取值为10^(-4)。 - `alpha`初始步长，`alpha0`是用户提供的初始值。 - 使用`while`循环不断调整步长`alpha`，直到找到满足下降条件的步长。 2. **梯度计算** 梯度是函数在某一点处的局部变化率向量，表示函数值下降最快的方向。在Python代码中，`df`列表存储了函数关于所有变量的偏导数，通过`diff(f, x_)`计算得到。在每个迭代步骤，负梯度 `-np.array([df_.subs(replacements) for df_ in df])` 作为更新方向。 3. **最速下降法的主要流程** `stepest_line_search`函数是整个最速下降法的实现，其主要步骤如下： - 初始化变量`x_k`，`alpha0`。 - 计算当前点的梯度`df`。 - 用回溯线搜索确定步长`alpha`。 - 更新位置`x_k`，并重新计算梯度和步长，直到梯度的范数小于设定的阈值`1e-6`。 - 最终返回最小值点`x_k`。 4. **符号计算库`sympy`与数值计算库`numpy`的结合使用** 在这段代码中，`sympy`库用于符号计算，处理解析表达式，而`numpy`库用于数值计算，如计算梯度的范数。这种组合使得代码既能够处理复杂的数学表达式，又能进行高效的数值计算。 5. **代码测试** 一个简单的测试案例展示了如何使用该最速下降法求解一个二次函数的最小值点。测试函数`f`是一个二维的二次函数，初始点`[1.2, 1]`，并设置步长`alpha0`为1。 需要注意的是，最速下降法虽然在理论上保证了每次迭代都能取得最大的下降，但在实际应用中，由于步长的选择和梯度的计算，可能会导致收敛速度较慢。在现代优化算法中，更常使用的是拟牛顿法或梯度下降的变种，如批量梯度下降、随机梯度下降（SGD）以及Adam等优化算法，它们在处理大规模数据和复杂模型时具有更好的性能。