最速下降法、DFP法

最速下降法（Gradient Descent）和Davidon-Fletcher-Powell (DFP) 法是两种常见的数值优化方法，主要用于解决非线性函数的最小化问题。这两种方法都是在无约束优化领域广泛应用的迭代算法，尤其在机器学习和工程优化等领域。 最速下降法是一种基于梯度方向的优化策略。它的基本思想是从一个初始点出发，沿着目标函数梯度的反方向移动，以期望每次迭代都能取得最大的下降速率。在提供的MATLAB代码中，`grad`函数实现了最速下降法的迭代过程。在每次迭代中，计算当前点的梯度，然后选取一个合适的步长ρ，找到使目标函数值下降最大的方向进行更新。如果梯度范数小于预设阈值ε，则认为已经足够接近最小值，终止迭代。 接下来是DFP法，这是一种利用拟牛顿法思想的优化算法。与最速下降法不同，DFP法不仅考虑梯度信息，还利用Hessian矩阵（二阶导数矩阵）的近似来改善搜索方向。在MATLAB代码的`dfp`函数中，首先初始化一个近似的Hessian矩阵，然后在每次迭代时进行校正。迭代过程中，除了计算梯度和步长外，还会根据最新的搜索方向和步长更新Hessian矩阵的近似。当梯度范数小于ε时，停止迭代。 两者的区别在于，最速下降法依赖于梯度信息，而DFP法则通过模拟Hessian矩阵的性质，可以更快地收敛到局部极小值，尤其是在Hessian矩阵为正定的情况下。但DFP法的计算量相对较大，因为它涉及到Hessian矩阵的近似。 在给定的MATLAB代码中，有两个问题实例，每个实例都提供了目标函数、梯度函数以及Hessian矩阵的计算。这些函数用于在迭代过程中评估目标函数的值和梯度，以及更新Hessian矩阵。初始点的选择对结果有很大影响，因为优化算法可能收敛到不同的局部极小值，具体取决于起点。 最速下降法和DFP法都是寻找函数最小值的有效工具，它们各自有优缺点。最速下降法简单易懂，但可能收敛速度较慢；而DFP法则能更快地收敛，但需要更多的计算资源。在实际应用中，选择哪种方法取决于问题的具体情况，如计算资源、收敛速度的需求以及对精度的要求。