### 最优化DFP求解例题详解
#### 一、引言
最优化问题是工程、科学及经济领域中常见的问题类型之一，它涉及到如何寻找一个系统或过程的最佳配置，使得某个性能指标达到最大或最小。其中，无约束最优化问题是指在没有限制条件下寻找目标函数的最小值点的问题。DFP方法（Davidon-Fletcher-Powell method）是求解这类问题的一种有效迭代算法，它基于梯度下降法和拟牛顿法的思想。
本文将通过一个具体的DFP求解例题来详细介绍该方法的实现步骤和原理。
#### 二、DFP方法概述
DFP方法是一种用于求解无约束最优化问题的二次逼近算法。其核心思想是在每次迭代过程中更新一个近似Hessian矩阵，以更准确地逼近目标函数的二阶导数信息，从而加速收敛速度。DFP方法的迭代公式如下：
1. **搜索方向**：\(d_k = -H_k g_k\)，其中\(H_k\)是Hessian矩阵的近似值，\(g_k\)是当前点处的目标函数梯度。
2. **步长确定**：通过一维搜索确定步长\(\lambda_k\)。
3. **位置更新**：\(x_{k+1} = x_k + \lambda_k d_k\)。
4. **Hessian矩阵更新**：\(H_{k+1} = H_k + A_k + B_k\)，其中\(A_k\)和\(B_k\)是根据当前迭代点的变化进行计算的。
#### 三、DFP求解例题解析
假设我们需要使用DFP方法求解以下最优化问题：
\[
\text{minimize } f(x) = x_1^2 + 4x_2^2 - 2x_1 + 2x_2
\]
取初始点为\(x^{(1)} = [2; 1]\)，初始Hessian矩阵的近似值为\(H^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。
##### 第一次迭代：
**1. 梯度计算**：在初始点\(x^{(1)} = [2; 1]\)处，目标函数的梯度为：
\[
g^{(1)} = \begin{bmatrix} 2x_1 - 2 \\ 8x_2 + 2 \end{bmatrix}\Big|_{x=[2; 1]} = \begin{bmatrix} 4 - 2 \\ 8 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 10 \end{bmatrix}
\]
**2. 搜索方向**：根据搜索方向的计算公式，得到：
\[
d^{(1)} = -H^{(1)}g^{(1)} = -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -10 \end{bmatrix}
\]
**3. 步长确定**：通过一维搜索确定步长\(\lambda^{(1)} = \frac{5}{18}\)。
**4. 位置更新**：利用步长更新点的位置：
\[
x^{(2)} = x^{(1)} + \lambda^{(1)} d^{(1)} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{5}{18} \begin{bmatrix} -2 \\ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{14}{9} \\ -\frac{2}{9} \end{bmatrix}
\]
**5. Hessian矩阵更新**：根据迭代公式计算新的Hessian矩阵近似值\(H^{(2)}\)。
##### 第二次迭代：
重复上述步骤进行第二次迭代。
**1. 梯度计算**：在\(x^{(2)} = \begin{bmatrix} \frac{14}{9} \\ -\frac{2}{9} \end{bmatrix}\)处，计算梯度\(g^{(2)}\)。
**2. 搜索方向**：根据\(H^{(2)}\)和\(g^{(2)}\)计算搜索方向\(d^{(2)}\)。
**3. 步长确定**：通过一维搜索确定步长\(\lambda^{(2)} = \frac{17}{36}\)。
**4. 位置更新**：利用步长更新点的位置，得到\(x^{(3)}\)。
最终，在\(x^{(3)}\)处，目标函数的梯度接近于零向量，即达到了极小点。
#### 四、结论
通过以上步骤，我们可以看到DFP方法能够有效地解决特定类型的最优化问题，并且具有较快的收敛速度。本例题展示了DFP方法的具体应用过程，包括初始条件设定、梯度计算、搜索方向确定、步长选择以及Hessian矩阵的更新等关键步骤。对于解决实际问题而言，DFP方法提供了一种高效可行的解决方案。
