《最优化方法》复习题 含答案（附录 5 《最优化方法》复习题）
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2013-10-28
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附录 5 《最优化方法》复习题
1、设
nn
AR
是对称矩阵，
,
n
b R c R
，求
1
()
2
TT
f x x Ax b x c
在任意点
x
处
的梯度和 Hesse 矩阵．
解
2
( ) , ( )f x Ax b f x A
．
2、设
( ) ( )t f x td
，其中
:
n
f R R
二阶可导，
,,
nn
x R d R t R
，试求
()t
．
解
2
( ) ( ) , ( ) ( )
TT
t f x td d t d f x td d
．
3、设方向
n
dR
是函数
()fx
在点
x
处的下降方向，令
( ) ( )
( ) ( ) ( )
TT
TT
dd f x f x
HI
d f x f x f x
，
其中
I
为单位矩阵，证明方向
()p H f x
也是函数
()fx
在点
x
处的下降方向．
证明 由于方向
d
是函数
()fx
在点
x
处的下降方向，因此
( ) 0
T
f x d
，从而
( ) ( ) ( )
TT
f x p f x H f x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
TT
T
TT
dd f x f x
f x I f x
d f x f x f x
( ) ( ) ( ) 0
TT
f x f x f x d
，
所以，方向
p
是函数
()fx
在点
x
处的下降方向．
4、
n
SR
是凸集的充分必要条件是
1 2 1 2
2, , , , , , , ,
mm
m x x x S x x x LL
的一切
凸组合都属于
S
．
证明 充分性显然．下证必要性．设
S
是凸集，对
m
用归纳法证明．当
2m
时，
由凸集的定义知结论成立，下面考虑
1mk
时的情形．令
1
1
k
ii
i
xx
，
其中
, 0, 1, 2, , 1
ii
x S i k
L
，且
1
1
1
k
i
i
．不妨设
1
1
k
（不然
1k
x x S
，
结论成立），记
1
1
1
k
i
i
i
k
yx
，有
1 1 1
(1 )
k k k
x y x
，
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北冥_2020-11-15差评，只有12页还不是答案。
