在自然科学领域，特别是在数学物理方程的研究中，Degasperis-Procesi方程是一个重要的偏微分方程，它是描述非线性色散波的一种模型。该方程可由浅水波调幅现象导出，并且在研究流体动力学中的波形破裂等问题中占有重要地位。Degasperis-Procesi方程的解包括孤立波解以及震荡尖峰解，这些解表现出复杂的非线性特征，并且能够描述流体中小波幅传播中的破裂现象，而这是KdV方程无法描述的。此外，该方程还满足一系列守恒律，这些守恒律在理论分析中具有重要作用。
当研究具有实际物理意义的Degasperis-Procesi方程时，不可避免地会遇到能量耗散的问题，比如流体的粘性会产生弱耗散效应。在吴书印和李占现的研究中，他们专注于带有零阶耗散项的Degasperis-Procesi方程。零阶耗散项的引入，实际上是对原始方程中的一项λu进行考虑，其中λ>0是一个常数。这项研究的主要目的是分析这种弱耗散项对Degasperis-Procesi方程行为的影响。
为了研究方程的初值问题，研究者应用了著名的Kato定理。Kato定理是研究拟线性偏微分方程局部适定性的一个重要工具，它能够给出在一定条件下初值问题存在唯一解的证明，并说明解的性质。在这个研究中，Kato定理被用来证明带有零阶耗散项的Degasperis-Procesi方程的局部适定性。简而言之，局部适定性意味着在一定条件下，初值问题在某个时间区间内存在唯一解，并且解的行为由初值决定。
研究者在获得了方程局部解的适定性之后，进一步研究了解的blow-up现象。Blow-up现象是指在有限时间内，解的某个范数会趋向无穷大，从而解在数学意义上不再存在。Blow-up现象通常与解的奇异性有关，是偏微分方程研究中的一个重要方面。在具有零阶耗散项的Degasperis-Procesi方程中，研究者关注blow-up现象出现的条件、机制以及blow-up率。
Blow-up率描述了解在blow-up发生前后的增长速率，它是理解blow-up现象动态特征的关键。在本研究中，对blow-up率的探讨可以揭示零阶耗散项如何影响原本由耗散引起的解的衰减性质。通过分析，研究者发现在带有零阶耗散项的Degasperis-Procesi方程中，整体解具有衰减性质，这与标准Degasperis-Procesi方程解的性质存在显著差异。
研究者总结了带有零阶耗散项的Degasperis-Procesi方程初值问题解的存在区间与blow-up行为，并探讨了方程解的衰减性质。这项研究不仅丰富了对Degasperis-Procesi方程理论的理解，而且对理解具有耗散项的非线性偏微分方程的整体动力学行为具有重要的意义。
