Fuzy逆映射及其性质 (1988年)

本文定义TFuzzy逆映封.讨论了Fuzzy逆映封的Fuz:y单封、Fuzzy连续、Fuzzy满扮,并研究Tf与其Fuzzy逆映封f-1之间合成后的FuzZy单舒、Fuzzy连续、Fuzzy满封等性质。 ### Fuzy逆映射及其性质 #### 摘要与背景 本文主要研究了模糊集理论中的一个重要概念——Fuzy逆映射，并对其性质进行了深入的探讨。文章首先定义了Fuzy逆映射，随后讨论了该逆映射的几种重要属性：Fuzzy单射、Fuzzy连续以及Fuzzy满射。进一步地，文章还分析了原映射\( f \)与其Fuzy逆映射\( f^{-1} \)之间的合成操作后所表现出来的Fuzzy单射、Fuzzy连续和Fuzzy满射等性质。 #### 基本概念介绍 模糊数学是一门研究模糊性现象的学科，其中模糊集合的概念是最为基础的。模糊集合允许元素以不同程度的隶属度存在于集合中，这一特性使得模糊数学在处理不确定性问题时具有独特的优势。模糊集合理论自20世纪60年代由Lotfi Zadeh提出以来，在多个领域得到了广泛的应用和发展，包括控制理论、人工智能、决策支持系统等。 在本文中，作者基于前人的工作，引入了一些基本概念，如模糊映射和其性质： 1. **Fuzzy单射**：如果对于所有的\( u_1, u_2 \in U \)，都有\( P(u_1, u_2) \geq Q(f(u_1), f(u_2)) \)，则称\( u \mapsto f(u) \)为Fuzzy单射。 2. **Fuzzy连续**：如果对于所有的\( u_1, u_2 \in U \)，都有\( P(u_1, u_2) \leq Q(f(u_1), f(u_2)) \)，则称\( u \mapsto f(u) \)为Fuzzy连续。 3. **Fuzzy满射**：给定\( B \in L(V) \)，如果对于所有的\( v \in V \)，存在\( u \in U \)使得\( Q(v, f(u)) > B(v) \)，则称\( u \mapsto f(u) \)为\( B \)上的Fuzzy满射。 #### Fuzy逆映射的定义 Fuzy逆映射的概念是在普通双射的基础上定义的。设\( f: U \rightarrow V \)为一个普通双射，\( P \)、\( Q \)分别是\( U \)和\( V \)上的模糊相似关系。对于所有的\( u_1, u_2 \in U \)，如果都有\( P(u_1, u_2) \geq Q(f(u_1), f(u_2)) \)，那么由\( v = f(u) \)确定的由\( V \)到\( U \)的映射\( f^{-1} \)被称为\( f \)的Fuzy逆映射。 #### Fuzy逆映射的性质 根据上述定义，我们可以推导出Fuzy逆映射的一些重要性质： 1. **定理1**：若\( f: U \rightarrow V \)为普通双射，则\( f \)为\( B \)上的Fuzzy满射。这是因为对于任意的\( v \in V \)，存在\( u \in U \)使得\( Q(v, f(u)) = 1 \)，而\( 1 \)大于等于任何\( B(v) \)的值。 2. **定理2**：如果\( f^{-1} \)为\( f \)的Fuzy逆映射，且\( f \)为Fuzzy连续，则\( f^{-1} \)为Fuzzy单射。这是由于\( f \)的Fuzzy连续性保证了对于任何\( u_1, u_2 \in U \)，都有\( P(u_1, u_2) \leq Q(f(u_1), f(u_2)) \)；因此，当考虑\( f^{-1} \)时，可以推导出\( P(f^{-1}(v_1), f^{-1}(v_2)) \geq Q(v_1, v_2) \)。 3. **定理3**：如果\( f^{-1} \)为\( f \)的Fuzy逆映射，则\( f^{-1} \)为Fuzzy连续。这是由于\( f \)作为普通双射，对于任何\( v_1, v_2 \in V \)，都存在\( u_1, u_2 \in U \)使得\( f(u_1) = v_1 \)和\( f(u_2) = v_2 \)。利用\( f \)的Fuzzy连续性，可以得出\( P(f^{-1}(v_1), f^{-1}(v_2)) = P(u_1, u_2) \leq Q(v_1, v_2) \)。 通过上述理论分析，我们可以看出Fuzy逆映射及其性质在模糊数学中的重要地位。这些理论不仅扩展了模糊数学的基础框架，也为后续的研究提供了有力的工具和支持。