第 ４２卷 第 ４ 期
２ ０ ０ ２ 年 ７ 月
大 连 理 工 大 学 学 报
J ournal of Dalian Univer sity of Technology
Vol．４２，No．４
J ul
． ２ ０ ０ ２
数学、物理、力学 文章编号： １０００－８６０８（２００２）０４－０３８１－０６
收 稿日 期： ２０００－１２－０１； 修回日 期： ２００１－０６－１０．
作 者简 介： 吴 钢 （１９７６－）， 男 ， 硕 士， 现为复 旦大学 博士 生．
半 精 化 双 正 交
L an czos
方 法
吴 钢
（ 大连理工大学 应用数学系， 辽宁 大连 １１６０２４ ）
摘要： 根据精 化投影方法的思想及双正交
Ｌ ａｎｃｚｏｓ
过程提出一种 近似精化方法—— 半精化
双正交
Ｌ ａｎｃｚｏｓ
方法，并给出了半精化近似特征对与精化近似特征对对应的残 量范数之间的
关系，数值实验表明了新算法的优越性．
关键词： 正交投影； 斜轴投影／双正交过程；
Ｋ ｒｙｌｏｖ
子空间； 里茨向量； 半精化
向量
中图分类号： Ｏ ２４１．６ 文献标识码： Ａ
0 引 言
双正交 Ｌ ａｎｃｚｏｓ 方法属于一种斜投影方法，
此方法的一个显著特点是可以用于同时计算大规
模非对称矩阵的特征值及其相应的左、右特征向
量． 其基本思想是首先利用两双正交向量组将原
矩阵逐次三对角化，得到一小规模三对角矩阵；而
后计算该三对角矩阵的特征值及其相应的左、右
特征向量，并将所求特征值作为待求特征值的近
似，将所求的特征向量通过变换分别作为待求左、
右特征向量的近似． 然而，当原矩阵非对称时，在
三对角化过程的每一步，都可能发生严重中断
［１］
，
且其出现与舍入误差、问题的病态程度都无关．
在没有严重中断发生的前提下，
Ｙ ｅ
［２ ］
分析了双正
交 Ｌａｎｃｚｏｓ 方法的收敛性，证明原矩阵的实部最
大（最小）的特征值通常会在导出的三对角阵中出
现．
Ｂａｉ
［３ ］
的分析表明：在有限精度下，若
Ｒ ｉｔｚ
值
的条件数合理并且没有严重中断发生，则
Ｒ ｉｔｚ
值
的收敛即意味着双正交性的失去．
理论分析表明经典的投影方法存在着
Ｒ ｉｔｚ
值收敛、
Ｒ ｉｔｚ
向量 可能不收 敛的隐患
［ ４］
． 为此，
Ｊｉａ
［５］
提出一种精化策略，该策略保留了
Ｒ ｉｔｚ
值，
而用精化向量作为待求特征向量的近似，它使得
精化近似特征对所对应的残量在给定的子空间中
达到最小，并且理论上证明了若 Ｒ ｉｔｚ 值收敛，则
精化向量也能收敛． 精化向量可以通过做小奇异
值分解或通过求解小特征值问题廉价地得到
［６］
，
从而精化投影方法可以避免经典的正交投影方法
和 斜投 影 方 法 所 存 在 的 缺 陷． 拟 精 化 双 正 交
Ｌ ａｎｃｚｏｓ 方法
［ ７］
将拟精化思想
［ ８］
和精化策略结合
起来应用于双正交
Ｌａｎｃｚｏｓ
方法中，通过做小奇
异值分解或求解小特征问题廉价地获得拟精化向
量，并将它们作为待求特征向量的近似．
本文基于双正交 Ｌ ａｎｃｚｏｓ 过程和精化投影方
法的思想提出一种半精化双正交
Ｌ ａｎｃｚｏｓ
方法，
用半精化向量作为待求特征向量的近似，半精化
向量也可以通过做小奇异值分解或求解小特征问
题得到． 并给出了一定的收敛性分析．
1 双 正 交
L an czos
方 法
本文中，
A
表示
n
×
n
实或复矩阵；
K
m （
A
，
v
１ ）
表示由向量（v１ Av１ … A
m － １
v１ ）张成的 m－维
Ｋ ｒｙｌｏｖ
子空间，其中
v
１ 为单位长度向量；
I
表示
n
阶单位阵，
I
m 表示
m
阶单位阵，
e
i 表示
I
m 的第
i
列． （
λ
i，
x
i）表示
Ｒ ｉｔｚ
对，其中
λ
i 、
x
i 分别称为
Ｒ ｉｔｚ
值和 Ｒ ｉｔｚ 向量；x
Ｒ
i 表示精化向量，x
Ｑ
i 表示拟精化
向量，
x
Ｓ
i 表示半精化向量． 用
κ
（
X
）表示矩阵
X
的
２－条件数；若不做任何标记，本文中所有范数均为
２－范数．
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