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针对冗余度机器人末端执行封闭轨迹任务时关节角度漂移问题,提出了一种考虑关节限位的重复性路径规划方法。基于梯度投影法,提出重复运动优化算子,并将其引入到冗余度机器人伪逆运动方程中,实现冗余度机器人无漂移重复运动;通过设计平滑因子,提出了改进的回避关节极限方法,并将该方法融入到机器人重复运动规划方程中,实现了考虑关节限位的重复性路径规划。利用数值仿真实验,与现有的相关方法进行比较,验证了提出算法的正确性和有效性;通过 8自由度机器人平台验证了考虑关节限位的重复性路径规划方法的实用性。
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考虑关节限位的冗余度机器人重复性路径规划研究
*
贾庆轩,吴楚锋,陈钢,孙汉旭
(北京邮电大学自动化学院,北京 100876)
摘 要:针对冗余度机器人末端执行封闭轨迹任务时关节角度漂移问题,提出了一种考虑关节限位的重复性路径规划方法。
基于梯度投影法,提出重复运动优化算子,并将其引入到冗余度机器人伪逆运动方程中,实现冗余度机器人无漂移重复运
动;通过设计平滑因子,提出了改进的回避关节极限方法,并将该方法融入到机器人重复运动规划方程中,实现了考虑关
节限位的重复性路径规划。利用数值仿真实验,与现有的相关方法进行比较,验证了提出算法的正确性和有效性;通过 8
自由度机器人平台验证了考虑关节限位的重复性路径规划方法的实用性。
关键词:冗余度机器人;梯度投影法;重复运动算子;关节极限
中图分类号:TP242
文献标识码:A
0 引言
机器人完成某一操作任务时,不仅要求其末端
位姿复位到初始状态,而且需要各关节角度返回到
初始特定构型,为后续操作任务做准备。为了满足
该任务要求,通常机器人完成操作任务后会进行复
位操作,任务操作和复位操作会使机器人末端运行
轨迹构成一条封闭曲线。当完成封闭轨迹操作任务
时,非冗余度机器人构型同时返回到初始特定构
型;而冗余度机器人的最终构型与初始特定构型存
在偏差,为此需要针对冗余度机器人开展重复性路
径规划研究。所谓冗余度机器人重复性路径规划是
指针对机器人执行末端封闭路径重复作业任务,求
解一组机器人关节角度序列,使得机器人关节运行
轨迹封闭。
国内外学者已经针对冗余度机器人路径规划
重复性问题开展了相关研究工作。Klein
[1-2]
最早对
冗余机器人重复性问题进行了研究,利用节距与弧
长进行预测关节角度飘移及其飘移极限。Shamir
[3]
通过雅可比矩阵伪逆可积曲面的存在条件分析了
冗余度机器人伪逆控制的重复性问题,并利用李括
号(LBC条件)判定伪逆控制重复性是否存在。上述
方法只适用判别重复性是否存在,没能从根本上解
决重复性路径规划问题。Chevallereau
[4]
利用分解
法,将雅可比矩阵分解为两部分来求解机器人运动
学逆解,避免对雅可比矩阵伪逆的求解进而为重复
性路径规划提供理论依据;Baillieul
[5]
利用扩展空
间法,即扩展任务空间维数,使得雅可比矩阵为方
阵,将问题转化为非冗余机器人进行求解。这两种
方法推导、计算复杂,特别是对自由度较多的机器
人,这些问题更为突出。赵京
[6]
提出了重置初值法
*国家自然基金(61175080)、国家“863”计划(2011AA7044027)、中央
高校基本科研业务费专项资金资助(BUPT2011rc0026)
解决冗余度机器人的重复性问题。张雨浓
[7-9]
提出
了基于原对偶神经网络求解冗余度机器人重复运
动的问题。该方法计算复杂度高、耗时较长,不适
合于实时运算求解。
考虑到实际的冗余机器人受连杆干涉、关节运
行范围等因素的限制,机器人各关节转角均应处于
一定的运行范围之内,即存在关节运行极限。
为了实现冗余度机器人重复路径规划,本文在
冗余度机器人伪逆法的基础上,引入了重复运动优
化算子,实现了冗余度机器人的重复路径规划。同
时,为了保证重复路径规划过程中,机器人关节运
行不超出其极限位置,在机器人运动学方程中采用
任务分配理论将重复运动优化算子与回避关节极
限优化算子融合。最后,利用八自由度模块化机器
人对本文提出的考虑关节极限的冗余度机器人重
复运动规划算法进行了验证。
1 冗余度机器人重复运动规划
1.1 冗余度机器人一般逆解
根据冗余机器人的逆运动学方程
[10]
,机器人
末端速度和关节速度之间的关系为:
()qJp IJJ
α
++
=+−
&&
(1)
其中,
m
pR∈
&
,
n
qR∈
&
,
mn
JR
×
∈ ,分别是机
器人操作的末端速度、关节速度和机器人雅可比矩
阵, J
+
是雅可比矩阵的Moore-Penrose广义逆,
I
为
n 维单位矩阵,
n
R
α
∈ 是任意矢量,Jp
+
&
是方程的
最小范数解,
()
I
JJ
α
+
−
是方程的齐次解。齐次解
对应机器人操作臂的自运动,不会引起机器人任何
末端运动。
因此通过选择不同的优化向量
α
,可以实现
机器人避障、避奇异和避关节极限等性能指标。通
常机器人运行过程中需要同时满足多个约束指标,
因此需要同时选取不同优化指标,并将其以一定的
融合方式进行合并。常采用加权组合方式的融合方
法
[11]
:
11 2 2 kk
α
γα γα γα
=⋅+⋅ ++⋅L (2)
其中,
k 为性能指标的总个数,
1 k
α
α
L
为性
能指标优化算子,
1 k
γ
γ
L 为各优化算子对应的权
值系数,通过改变
1 k
γ
γ
L 可调节各性能指标的在
整体优化中的权重。
1.2 重复运动优化算子
为了保证机器人在执行末端封闭轨迹任务时,
机器人终止时刻关节角度能够回到初始关节角度,
本文以当前所有关节角度与初始关节角度差值的
平方和作为重复运动优化目标函数。以
n 自由度机
器人为例,重复运动优化目标函数为:
2
1
(() ())
()
2
n
now init
RR
i
ii
H
θθ
θρ
=
−
=
∑
(3)
其中,
()
now
i
θ
为机器人 i 关节当前时刻角度
值,
()
init
i
θ
为机器人 i 关节初始关节角度,
R
ρ
为权
值系数,选择不同的
R
ρ
将影响优化算子在逆解中
的权重。
为了将重复运动优化函数引入到机器人运动
学逆解中,本采用梯度投影法建立优化函数,作为
机器人最小范数速度的优化项。对式
(3)进行求导,
可以得到:
12
() () ()
() { , , , }
RR R
RR
n
HH H
θ
θθ
αθ ρ
θθ θ
∂∂ ∂
=
∂∂ ∂
L
(4)
其中,
()
(() ())
R
init now
i
H
ii
θ
θθ
θ
∂
=−
∂
。
将式(4)表达的机器人重复运动优化算子代入
到式
(1)中,便可得到冗余度机器人重复运动路径
规划运动学方程。在实际应用过程中,考虑到控制
系统的计算复杂度,并不需要在机器人整个运行周
期内均进行重复性路径规划,只需在机器人终止运
行前的一段时间内开始进行重复性路径规划,便可
以实现机器人无漂移重复运动。不失一般性,本文
在总规划时间的后半段加入重复运动优化算子,故
优化因子可表达为:
0/2
()
()/2
R
R init now
tT
tT
αθ
ρθ θ
<
⎧
=
⎨
−>
⎩
(5)
为了使机器人终止时刻尽可能准确的回复到
初始构型,优化因子进行调整:
0/2
()
()
/2
()
R
Rinit now
tT
tT
Tt
αθ
ρθ θ
<
⎧
⎪
=
−
⎨
>
⎪
−
⎩
(6)
由式(6)可以看出,当机器人接近终止时刻时,
优化项数值较大,在整个运动规划中作用效果明
显,从而保证机器人最终时刻关节角度与初始关节
角度偏差尽可能小。
考虑到在引入重复运动算子前后,机器人关节
速度会产生突变,在式
(6)中引入平滑因子
R
λ
,以
保证重复运动算子不引起机器人关节角度及角速
度突变,其具体表达式为:
22
22
()/
1
()/
s
ta smo sta sta smo
R
sta smo sto
s
um smo sto sta sum
tt T t tt T
tT tt
TtTtttT
λ
⎧
−<<+
⎪
=+<<
⎨
⎪
−<<+
⎩
(7)
其中,
s
ta
t
为开始重复运动优化的时间
(/2)
sta
tT> ,
s
mo
T 为过渡时间,
s
um
T 为开始重复运
动优化的总时间,
s
to
t 为重复运动优化停止作用时
间,给定
2
s
um smo
TT≥
。
将式(7)所示的平滑算子代入式(6),可以得到
最终平滑重复运动算子为:
0/2
()
()
/2
()
R
RR init now
tT
tT
Tt
αθ
λρ θ θ
<
⎧
⎪
=
−
⎨
>
⎪
−
⎩
(8)
上述给出了冗余度机器人末端执行封闭轨迹
运动时,保证机器人最终能够回到初始构型的重复
运动算子,并同时设计了平滑因子,将其融入重复
运动算子中,解决了重复运动算子引入造成的关节
速度突变问题。
由于机器人受关节角度运行范围、连杆干涉以
及环境等因素的影响,机器人关节存在极限位置。
利用上述给出的重复运动规划算法进行机器人无
漂移重复运动规划,应保证所有的关节角度不能超
出给定的关节极限,否则机器人无法实现重复运动
规划。在冗余度机器人进行重复运动规划的同时,
利用其自运动特性可以回避关节极限。为此,以下
针对冗余度机器人回避关节极限问题展开研究。
1.3 回避关节极限优化算子
常用的回避关节极限的方法有
Zghal 准则函
数法
[12-13]
,Liegois 准则函数
[14]
等。由于 Zghal 准
则函数法求解简单,能够很好的反映关节接近关节
限位的情况,故采用
Zghal 准则函数作为机器人回
避关节限位的目标函数:
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