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对称性与分子轨道
试验化工厂曹小平
摘要
在非正交基空间中,引入"逆基矢量"建立了正交性与完全性定理,因而提供了对称
性分析的基本方法,并对分子轨道方法进行了讨论。
通过对称性分析,直接导出了立方对称分子的分子轨道,振动的本征矢量及对称元素不
可约表示矩阵,它可以研究分子变形或振动对分子轨道的影响,与推广的
HückeI
法
(EH)
或自洽场
Xa
散射波
(SCF
- X
a-SW)
方法结合可以更好地研究大分子、固体的缺陷杂质和
表面等问题。
一、引
根据对称性求解分子轨道,一般是利用特征标理论构作投影算符
(1
,
2J
,对于对称性
较高的分子,为完全确寇分子轨道,要求有完全的不可约表示矩阵,并对所有对称元素求
和,因此是相当复杂的。曾考虑进行简化
C
1 J
,把原子轨道分成
σ
、绍两部分,井建立了
局部坐标,它使分析简单,但为便于计算仍需建立统一的坐标。最近,
Fieck
[3J
提出利用
点群特性及球谐函数的
Clebsch-Gordon
系数
C4J
来建立分子轨道,并对正四面体分子
进行了讨论。
本文将不利用这些群论的结论,而直接通过对称性分析来建立分子轨道,它不仅使分析
计算简化,也使化学工作者能更好地掌握群论这一重要的分析工具。
分子中原子轨道是互相重叠的,它们一般不互相正交,因此要研究分子轨道(原子轨道
的线性组合)
,必须对非正交基空间进行分析。
利用
Dirac
符号。>或
<1)
[5J
来表示空间的矢量或波函数。对于非正交基空间,
相应引人一组"逆基矢量"使它与原有的基矢量正交归一,并建立了完全性与投影寇理。
它可以用来讨论空间中各种算符和变换的表示,为对称性与分子轨道分析打下基础。本文对
EH
和
SCF-Xa-SW
方法进行了讨论。
分子的对称性集中反映在原子的坐标上。通过对称性分析,建立分子轨道与原子坐标的
联系,就可以直接写出分子轨道的具体形式及对称类型。举例给出立方对称分子
ABh
AB6
、
ABs
及
AB
12
的分子轨道及振动的本征矢量,其中每个原子提供一个
S
轨道和三个
p
轨道。
最后对可能应用的方面进行了讨论。
二、非正交基空间分析
设非正交基空间中几个线性无关的基矢量为
z
34
清华大学学报
[
1α>;α=1
,
2…
n}
它们的全体线性组合构成一
n
维空间
z
(2.1)
V
(n)
= t 2
;X
a
1
趴叽巨
R~
a = 1
三{
1α
>;α=
1, 2…
n}
(2.2)
其中
R
为实数集
。
为简化
V(n)
仅用全体的基矢量来表示。
对于一组基矢量{
1α>1α=1
,
2
…叶
,相
应引人一组边基矢量,
{Iα->;α=1
,
2
…时,
使它们之间满足正交归一特性:
〈吵
=υ(
二
j(
定理
z
若
IX>=
I
X
a
1
α>
,
α=
1
α
斗卢
、
};
vα
卢
α=
卢
则
X
a
=
< 俨
1X>
ì
iE:
设
1X
>=
I:
X
a
!a>
,
在两边作用
<
户
1
,利用
(2.3)
得
<.e
-IX>=<
卢
-1
I:
X
a
1α
>=
I:
Xaðap=Xβ
利用上述寇理得
IX>=
I:
1α>
<
♂
1X>
v 1
X>eV(n)
三
|α><
♂
1X>
(2.3)
(1正毕〉
(2.4)
在等式中任一指标
(α)
出现两次,即表示对该指标求和,并把符号
Z
省略,以后不再加
以说明。
将
1X>
在非正交基上展开肘,其系数
X
a
等于它在逆基矢量上的投影
(<α.IX>)
。类
似,
IX>
也可在逆基矢量上展开
z
1X>=1α-><α1X>
V1X>eV(n)
(2.5)
故我们可得到单位算符
I
的两种表示形式
z
1=
1α><
♂
1=1α-><α(2.6)
它们可以分别用来把矢量或算符在基矢量或逆基矢量上展开,而保持矢量或算符不变,故
(2.6)
又称为完全性寇理。
|α><
♂
1
=
11><1-1
+
12><2-1
+…
+ln><
♂
(2.
7)
其中每一分量称为投影算符。因此只要有逆基矢量的具体形式就可以对非正交基空间进行分
析。以下给出构作适基矢
量
的方撞。
设
1i>1
i=l
,
2
,…
n
为
V(n)
中的正交基矢量,它们满足
<j1i>=ðij
,
故
1=
\i><i\
。将
|α>
在正交基上展开
z
|α>=
li><ilα>
币,
α(2.8)
其中
<ilα>
可看作一矩阵,它由
nxn
数确定。这里我们用希腊字母
α
、人
7
…表示非正
交基矢量
F
用拉丁字母
i
,
j ,
k
…表示正交基矢量。
将
(2.3)
在正交基上展开
z
〈♂|卢
>=<α.Ii><il
.e
>=ð
aβ
(2.9)
上式中矩阵<♂
li>
是矩阵
<i
l
卢〉的边矩阵,因此只要求出
<il
卢>的逆矩阵,其中每一行
对称性与分子轨道
矢量(<♂
1
i><i
1)
即是逆基矢量。
若不存在明显的正交基,则可采用下怯
z
<♂|卢>=<♂
1
1'.><川卢
>=ð
ap
(2.10)
只要求出矩阵
<α|
卢>的边矩阵<♂
1
,8">,则逆基矢量可写成
z
|α">=1
卢
><ß*Iα*>
(2.11)
35
利用完全性与投影定理可以用来讨论空间中各种算符和变换的表示
F
它也是近似计算,
如建立模型势和使计算程序化的基础。
三、分子轨道
假定分子轨道
|ψi>
由
n
个原子轨道
l
札>线性组合而成
E
|ψ
i>=C
ia
1 øa>= 1
øa><
们
|ψi>
|ψi>
满足能量方程
s
(3.
1)
HI
叭
>=Eilψi>
(3.2)
利用
(2.11)
构作逆基矢量
z
|们
>=1
们><何|们>
(3.3)
其中<归|们>是〈们
IØα>
的边矩阵。将
(3.2)
在原子轨道空间展开
z
|如><如
IHIØα><
们
|ψi>=Eil
们><的
|ψi>
(3.4)
上式相当于一矩阵方程,
1ψi>
与
Ei
是矩阵<的
IHIι>
的本征矢量与本征值。
首先考虑一种最简单的情况
z
原子是互相等价的,且每个原子仅提供一种原子轨道。
容易证明在上述条件下,矩阵
<ß*IHla>
,
<卢
IHla>
,
<ßIα>
,
<ß"Iα*>
均是对称
的,并可以互相对易,故它们有相同的本征矢量,所以求介能量方程
(3.2)
可以用求重叠矩
阵<卢
|α>
的本征矢量来代替。求解本征矢量可以用正交基空间中完全类似的方法,并使系
数满足正交归→
z
<叭
IØ:><
向
|ψ
】
>=ð
ij
(3.5)
由于
<ψil
归>是么正矩阵,故可将原子轨道展开成分子轨道的线性组合
z
|仇
>=1ψi><ψ;
1ι>=1ψi><ψi
1
们>
(3.6)
满足
(3.5)
的本征矢量是互相正交的,但不归一化
z
<ψilψi>=<ψil
ø
;><
ø a
1
们><们
|ψi>
(3.7)
因此真正的分子轨道
l
1/1
i>
必须使它归一化:
|ψi>
|Vi>=(3.8)
V<ψi
1ψi>
对于成键轨道
<ψi
1ψi>>I;
反键轨道
<ψi
1ψi><1
,因此归一化后将使两种能级互相
靠近。这就是简单的
LCAO
方法与
Hückel
方法之间的差别。
如果这些等价原子可以在某些对称操作下互相交换,则分子轨道完全可以通过对称性分
析得到。
以下着重讨论
EH
和
SCF-Xa-SW
两种方法。
Anderson
对
EH
方法
C6J
进行了推导并作了重要的修正
C
7
J
,井利用它研究了分子的
几何构型(键长与键角)、振动力常数、结合能、电子能级及表面吸附等大量问题,具体可参阅
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