作者研究了带参数的分数阶微分方程边值问题Dao+u(t)u(0)＝u,(0)=Af(t,U(t)),0＜t＜1,多个正解的存在性。这里λ＞0是一个参数,3＜a≤4是一个实数,Da0+为标准Riemann-Liouville微分算子。
### 分数阶微分方程边值问题多个正解的存在性
#### 背景与研究意义
在数学分析领域，特别是微分方程理论中，分数阶微分方程因其在描述各种复杂物理现象中的独特优势而备受关注。与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程能够更准确地模拟现实世界中的非局部效应，如记忆效应、扩散过程等。因此，在工程科学、生物医学、经济金融等多个领域中有着广泛的应用前景。
#### 主要研究内容
该研究聚焦于一类带参数的分数阶微分方程边值问题：
\[D_{0^+}^{\alpha}u(t)+\lambda f(t,u(t))=0, \quad 0<t<1,\]
其中 \(3<\alpha\leq4\) 是一个实数，\(D_{0^+}^{\alpha}\) 表示标准的Riemann-Liouville分数阶导数，\(\lambda>0\) 是一个参数。研究的目标是探讨上述方程在一定条件下存在多个正解的可能性。
#### 数学模型与方法
- **分数阶微分算子**：该研究采用了Riemann-Liouville分数阶导数定义，这是处理分数阶微分方程的标准工具之一。其定义形式为：
\[D_{0^+}^{\alpha}u(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\left(\frac{d}{dt}\right)^n\int_{0}^{t}(t-s)^{n-\alpha-1}u(s)ds,\]
其中 \(n-1<\alpha<n\)，\(n\in\mathbb{N}\)，\(\Gamma(\cdot)\) 是伽玛函数。
- **正解的存在性条件**：为了证明方程存在多个正解，研究者通常会设定一系列条件来确保解的存在性和唯一性。本研究中，通过构造特定的算子以及应用固定点理论（如锥上的不动点定理），建立了正解存在的充分条件。这些条件包括但不限于对非线性项 \(f(t,u)\) 的增长速度限制、参数 \(\lambda\) 的范围选择等。
- **具体数学推导**：基于上述模型和方法，研究者进行了详尽的数学推导。其中包括利用格林函数表示解的形式、构造适当的锥并证明算子的紧凑性等。例如，通过构造算子 \(N\) 和适当选择锥 \(K\)，可以将原方程转化为锥上的算子方程 \(Nu=u\)。接着，通过分析算子 \(N\) 的性质，如连续性和紧致性，以及应用锥上不动点定理，最终得出存在多个正解的结论。
#### 结论与应用
通过对带参数的分数阶微分方程边值问题的深入研究，本文成功证明了在某些条件下，这类方程存在多个正解。这一结果不仅丰富了分数阶微分方程理论的研究成果，也为解决实际问题提供了新的数学工具。例如，在材料科学中，分数阶模型可以更好地描述材料内部的应力应变关系；在生物学中，分数阶模型可以用于研究细胞动力学过程等。此外，对于未来的理论研究和技术开发也具有重要的指导意义。
通过详细的数学建模和严谨的理论推导，本研究为理解和解决带参数的分数阶微分方程边值问题提供了有力的理论支持，同时也展示了分数阶微分方程在跨学科研究中的潜在价值。
