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第 31 卷第 2 期

Vol. 31 No. 2

控制与决策

Control and Decision

2016 年 2 月

Feb. 2016

基于包含原理一般动态互联系统的分解与分散控制

文章编号: 1001-0920 (2016) 02-0207-10 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2014.1240

陈雪波, 徐志强

(辽宁科技大学电子与信息工程学院，辽宁鞍山 114051)

摘要: 针对一般结构互联系统的动态变化, 通过系统结构的描述, 以包含原理的多重叠分解为基础, 构建出适用于

一般结构互联系统对对分解与重叠分散控制的扩展收缩变换矩阵、置换矩阵及相关的补偿矩阵; 然后根据所提出的

子系统对的删除与添加方式, 构建出相应的删除矩阵与添加矩阵, 并将两者结合得到用于完成结构变化后的互联系

统对对分解与重叠分散控制的结构变化矩阵, 从而实现具有一般动态结构互联系统的分解与分散控制; 最后以四区

域互联电力系统 AGC 为例对其进行详细说明.

关键词: 包含原理；互联系统；重叠分散控制；多区域电力系统

中图分类号: TP273 文献标志码: A

Decomposition and decentralized control to general dynamic

interconnected system based on inclusion principle

CHEN Xue-bo, XU Zhi-qiang

(School of Electronics and Information Engineering，Liaoning University of Science and Technology，Anshan 114051,

China．Correspondent：XU Zhi-qiang，E-mail: 860260072@qq.com)

Abstract: For an interconnected system with the general topology, based on the multi-overlapping decomposition of

inclusion principle, the expanding and contracting transformation matrices, permutation matrices and related complementary

matrices applied to the pair-wise decomposition and overlapping decentralized control of the proposed interconnected system

are deﬁned through the description on system structure. Then, according to the proposed deleting and adding methods, the

corresponding deleting and adding matrices are established, and a combination of both is made to obtain the structural

variation matrices, which is used to accomplish the pair-wish decomposition and overlapping decentralized control of the

interconnected systems with general dynamic structure. Finally, a four-areas interconnected power system is taken as an

example to detail.

Keywords: inclusion principle；interconnected system ；overlapping decentralized control；multi-area interconnected

power system

0 引引引言言言

在今天的自然与社会系统中, 具有高阶次、多元

素、强耦合等特点的复杂系统普遍存在, 如多区域电

力系统、多智能体系统

[1-4]

等. 为了简化复杂系统的分

析与设计和降低控制成本, 往往需要将这类系统分

解成多个相互独立的低阶次子系统, 可以通过对子系

统的控制来实现整体系统的控制. 针对这类问题,

Ikeda 等以降低系统模型阶次的聚集和约束等方

法

[5]

为基础, 提出了动态系统的包含原理

[6-9]

. 它特

别有利于具有重叠互联结构系统的分析与设计, 以及

系统模型降价的设计. 在满足包含原理的相关条件下,

将系统重叠部分展开得到各个子系统近似解耦的更

为广大的扩展空间; 之后, 在扩展空间中对每个子系

统进行并行控制器设计

实际上

互联系统的结构通

常会随着外部环境和内部因素的改变而发生动态变

化

[10]

, 如多区域互联电力系统中受损区域子系统的

脱离, 区域子系统核心地位的切换等, 其形式上表现

为子系统之间结构的连接与断开, 子系统的加入与脱

离. 针对此种情况, 文献 [11-12] 提出了动态图理论并

与包含原理相结合讨论了互联系统动态结构的控制

问题. 文献 [13-15] 针对特殊结构及全互联网型结构

系统提出了对对分解的概念, 将有关联的两个子系统

收稿日期: 2014-08-11；修回日期: 2015-03-09.

基金项目: 国家自然科学基金项目(60874017, 71371092).

作者简介: 陈雪波(1960−), 男, 教授, 博士生导师, 从事复杂系统、群集智能等研究；徐志强(1987−), 男, 硕士生, 从事

复杂系统、群集智能的研究.

208

控制与决策

第 31 卷

所组成的互联子系统对看作是基本控制单元; 同时利

用扩展系统中子系统对的循环逆序排列规则提出了

置换包含原理, 特别有利于互联系统结构动态变化的

分析. 文献 [16] 基于全互联网型结构系统, 针对子系

统之间结构的连接与断开, 定义了相应的添加矩阵与

删除矩阵, 从而方便地计算出结构变化后的互联系统

对对分解与重叠分散控制所需要的相关变换矩阵.

实际上, 复杂互联系统不只是具有特殊结构 (即

链型、环型和星型结构) 和全互联网型结构, 而是有

着多种互联结构, 这里统称为一般结构. 目前, 针对

一般结构及结构变化时互联系统的对对分解与重叠

分散控制依然缺少一个统一而有效的描述. 虽然文

献 [15-16] 已经有所讨论, 但也只是在全互联网型结

构系统的基础之上将没有互联关系的子系统对删除

而实现的. 这在一定程度上增加了一些不必要的计算

量, 使过程变得复杂. 因此, 本文通过一般结构系统的

描述, 给出用于一般结构系统对对分解与重叠分散控

制所需的变换矩阵和相应的补偿矩阵的统一形式, 以

及系统结构变化时所需的结构变化矩阵. 最后, 以四

区域互联电力系统为例加以说明.

1 对对对对对对分分分解解解与与与重重重叠叠叠分分分散散散控控控制制制

1.1 包包包含含含原原原理理理

正如引言所提到的, 包含原理是复杂互联系统多

重叠分解与分散控制的理论基础, 因此这里首先回顾

有关包含原理的相关文献

[6-9,17]

, 对其内容作一个简

要的介绍以方便后文的叙述.

考虑一个线性连续时不变系统 𝑆 和它的扩展系

统

𝑆, 即

𝑆 : ˙𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢, 𝑦 = 𝐶𝑥; (1)

𝑆 :

˜𝑥 =

𝐴˜𝑥 +

𝐵˜𝑢, ˜𝑦 =

𝐶 ˜𝑥. (2)

其中: 𝑥 ∈ 𝑅

𝑛

, 𝑢 ∈ 𝑅

𝑚

, 𝑦 ∈ 𝑅

𝑙

分别为系统 𝑆 的状态、

输入和输出向量; ˜𝑥 ∈ 𝑅

˜𝑛

, ˜𝑢 ∈ 𝑅

˜𝑚

, ˜𝑦 ∈ 𝑅

𝑙

分别是扩展

系统

𝑆 的状态、输入和输出向量, 且有 𝑛 < ˜𝑛, 𝑚 < ˜𝑚,

𝑙 <

𝑙.

定定定义义义 1 扩展系统 𝑆 包含系统 𝑆, 即

𝑆 ⊂ 𝑆, 如

果存在一组满秩矩阵 {𝑉, 𝑈, 𝑅, 𝑆} 且满足 𝑈 𝑉 = 𝐼

𝑛

使

得对于任意初始条件 𝑥

∈ 𝑅

𝑛

和任意输入 𝑢 ∈ 𝑅

𝑚

, 则

当 ˜𝑥

= 𝑉 𝑥

和 ˜𝑢 = 𝑅𝑢 时, 对于所有 𝑡 ⩾ 𝑡

有 𝑥(𝑡;

𝑡

, 𝑥

, 𝑢) = 𝑈 ˜𝑥(𝑡; 𝑡

, ˜𝑥

, ˜𝑢) 和 𝑦[𝑥(𝑡)] = 𝑆 ˜𝑦 [˜𝑥(𝑡)].

定定定理理理 1 如果系统 𝑆 是扩展系统

𝑆 的一个约束,

则存在一组满秩矩阵 {𝑉, 𝑅, 𝑇 } 使得

𝐴𝑉 = 𝑉 𝐴,

𝐵𝑅 = 𝑉 𝐵,

𝐶𝑉 = 𝑇 𝐶, (3)

或者

𝑀

𝐴

𝑉 = 0, 𝑀

𝐵

𝑅 = 0, 𝑀

𝐶

𝑉 = 0. (4)

定定定理理理 2 如果系统 𝑆 是扩展系统

𝑆 的一个聚集,

则存在一组满秩矩阵 {𝑈, 𝑄, 𝑆} 使得

𝑈

𝐴 = 𝐴𝑈, 𝑈

𝐵 = 𝐵𝑄, 𝑆

𝐶 = 𝐶𝑈, (5)

或者

𝑈𝑀

𝐴

= 0, 𝑈 𝑀

𝐵

𝑅 = 0, 𝑆𝑀

𝐶

𝑉 = 0. (6)

此时, 系统 𝑆 和扩展系统 𝑆 具有如下包含关系:

𝐴 = 𝑉 𝐴𝑈 + 𝑀

𝐴

𝐵 = 𝑉 𝐵𝑄 + 𝑀

𝐵

𝐶 = 𝑇 𝐶𝑈 + 𝑀

𝐶

. (7)

其中: 𝑉 , 𝑈, 𝑅, 𝑄, 𝑇 和 𝑆 是分别具有 ˜𝑛 × 𝑛、𝑛 × ˜𝑛、

˜𝑚 × 𝑚、𝑚 × ˜𝑚、

𝑙 × 𝑙 和 𝑙 ×

𝑙 维数的满秩扩展收缩

变换矩阵, 且满足 𝑈𝑉 = 𝐼

𝑛

, 𝑄𝑅 = 𝐼

𝑚

, 𝑆𝑇 = 𝐼

𝑙

;

𝑀

𝐴

、𝑀

𝐵

和 𝑀

𝐶

分别具有 ˜𝑛、˜𝑚 和

𝑙 维的补偿矩阵.

1.2 一一一般般般结结结构构构互互互联联联系系系统统统的的的对对对对对对分分分解解解

互联系统的对对分解是以包含原理多重叠分解

方法为基础, 通过选择合适的扩展收缩变换矩阵及置

换矩阵, 将互联系统 𝑆 中子系统对之间的重叠部分展

开得到扩展系统 𝑆. 此时的扩展系统是由多组近似解

耦的独立子系统对 𝑆

𝑖𝑗

组成的, 可通过并行控制每一

组子系统对而实现整体系统的分散控制, 起到了简化

系统的分析与设计的目的.

考虑由 𝑁 (𝑁 ⩾ 3) 个线性时不变子系统组成的

互联系统, 结构如图 1(a) 所示. 其中顶点代表互联系

统中的子系统, 用圆圈表示; 边代表子系统之间的互

联关系, 用带方向箭头的实线和虚线表示, 并且用基

本互联系数 𝑒

𝑖𝑗

表示子系统 𝑆

𝑖

与 𝑆

𝑗

之间的连接状态.

(a) !"#$%

(b) &'"#$%

图 1 互联系统结构

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