捕食-被捕食微分方程种群模型的研究综述(2015年)

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第 61卷第 4 期武汉大学学报(理学版） Vol. 61 No. 4

2015 年 8 月 J. Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. ) Aug. 2015，299〜 307

m m

D01：10. 14188/j. 1671-8836. 2015. 04. 001

捕食-被捕食微分方程种群模型的研究综述

汪维刚\ 史娟荣2，莫嘉琪3t

( 1 .安庆师范学院桐城教学部，安徽桐城231402，2 . 安徽机电职业技术学院基础教学部，

安徽芜湖241002; 3 . 安徽师范大学数学系，安徽芜湖241003:)

摘要：分别从捕食-被捕食微分方程种群模型的定性研究. 种群模型的古典整体解. 种群模型的周期解.种

群模型的脉冲解 . 捕食-被捕食种群时滞问题. 多种群间的反应扩散模型和奇摄动种群模型渐近解等方面论述了

捕食-被捕食微分方程种群模型近年来的研究成果. 探讨了种群模型今后研究方向并对发展前景作了瞻望.

关键词：捕食-被捕食；种群模型；周期解

中图分类号：O 175. 26 文献标识码：A 文章编号：1671-8836(2015)04-0299-09

Research Summary to Population Model of Predator-Prey

Differential Equations

WANG Weigang1，SHI Juanrong2，MO Jiaqi3t

(1. Tongcheng Teaching Department, Anging Teacher’ s College, Tongcheng 231402，A nhui, China；

2. Department of Basic Teaching，Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002，Anhui, China；

3. Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, A nhui, China)

Abstract： The research achievements about the typical population model, the qualitative study of population mod

el , the classic integral solution of population model, the periodical solution of population m odel, the periodic solution

of population model, the time delay problem of predator-prey population, the reaction diffusion model in m ulti-popula

tions and the asymptotic solution of singular perturbation population model are recounted respectively. Finally, we

simply look into the future for the research area.

Key words ： predator-prey； population model ； periodical solution

o 引言

意大利数学家V oterm 在 20世纪2 0年代提出

了捕食-被捕食Voterra模型：

每

——rx

—

axy

(1)

— d3 ； +

bxy

(2)

在 Voterra模型（1 )，（2 )中，再增加物种自身

增长率阻滞作用，即添加Logstic项，便成为捕食

和被捕食Logstic-Voterra模型：

d7 = - d v d + ^ ) + ^ ⑷

在方程(1 )〜(4 ) 中，_rvV分别表示被捕食者和捕食

者的数量，r ，d 分别表示被捕食者的增长率和捕食

者的死亡率，分别表示捕食者掠取被捕食者和

被捕食者供养捕食者的能力，队具分别表示被

捕食者和捕食者的最大环境容纳量.

Voterra 模型(.1)，（.2)和 Logstic-Voterra 模型

(3), (4_)是经典的捕食-被捕食模型.在此基础上根

据不同环境和特殊的条件，许多其他微分方程、微

分-积分方程和泛函微分方程等数学模型被引申出，

并在它们的各种定性、定量方面的状态进行了研究.

收稿日期：2014-12-02 t 通信联系人 E-mail: mojiaqi@ mail. ahnu. edu. cn

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11202106)，安徽省髙等学校省级自然科学研究重点项目（KJ2013A133)

作者简介：汪维刚，男，教授，现从事应用数学方面的研究. E-mail: wwgl2345@126.com

300

武汉大学学报( 理学版)

第 6 1 卷

近来，国内外学者分别发表了相关研究成果，本文对

此进行归纳总结，分述于下(注:predator-prey既可译

为捕食_被捕食，也可译为捕食-食饵，本文未统一).

1 种群模型的定性研究

1 ) 捕食-被捕食系统：

^ = r x ( t) ( 1 - x ( /) ) - a v ( [ f] ))

d/ K [

(5)

竿 = y (t) (— 1 — 3 心 — bx ( W ))

dz Kz

(6 )

其中，a H ,K 2 ,r > 0 ,6i > 62 ，f > 0 ，且满足初始条

x (0 )= x B > 0 , v (0 ) = vo > 0. 文献[1 〜3] 讨论了模

型(5 )，（6 ) 的解的有界性，正平衡态的存在惟一性、

稳定性与分支的存在性，利用 Jury判据得到模型

正平衡态局部渐近稳定、不稳定的充分条件；并应

用中心流形定理和分支理论给出模型存在分支的条

2 ) 在具有相互干扰和密度制约的I 型功能反

应下，干扰会影响捕食的效果. 文献[4 ，5]对这种

既有相互干扰又有密度制约和功能反映的食饵种群

具有收获率的捕食系统模型进行了研究，得到系统

正平衡点的存在条件及全局稳定的一些结果.

3 ) 对于一类带有强A llee效应的Holling I I 型

功能反应函数的捕食-食饵模型，文献[ 6〜9] 讨论了

平衡点的存在性及稳定性，证明了在一定参数范围

内存在H opf分支，且由 H o p f分支产生一个稳定

的极限环，极限环随着同宿闭轨的产生而消失. 在

一定的参数条件下转化为一个U 6nard型系统，利

用焦点的重数得到相应系统存在一个稳定的极限

环. 同时，利用数值模拟证实了系统存在一个稳定

的极限环，利用重合度理论中的M aw hin延拓定

理，Lyapunov函数和Barbalat引理，研究了一类

Baddingtom-DeAngelis型功能性反应的时滞两种

群捕食-食饵系统，得到系统一致持久性和存在惟

一全局稳定解的充分条件.

4 ) 对于非自治捕食-被捕食系统，文献[ 1 0〜

12] 通过引人函数上、下平均的概念，得到了系统持

久与全局吸引性的均值条件，讨论了具有反馈控制

的非自治多种群捕食_被捕食系统的持久性与全局

吸引性.

5 ) 文献[13〜15] 用微分方程定性理论和稳定

性理论以及泛函分析中的Brouwer不动点原理，研

究了相应问题的持久性的充分条件和正周期解的存

在性以及全局稳定的充分条件. 经过改进的Leslie

捕食与被捕食系统，捕食者与被捕食者两种群间长

期共存，并且产生生物周期震荡.

2 种群模型的古典整体解

代表性的讨论有：

1 ) 捕食-食饵交错扩散模型：

u, = A(<5?i u an tr ) ilia — u — bv ) •,

x e n , t > o (7)

v, = A(d2ti + a si uv + a22 —

-----

h cn )，

X e ^ > o (8 )

3 rjn (x it) — 3 rjv (x , t) — 0 , X (z > 0 (9)

n(x ,0) = u0 (.sc) 》 0 , v(x ,0) = z'0 ( x ) 》 0 ，

x e 0 (10)

其中，是在中具有光滑边界的有界区

域；3, = 3/37；表示在3 D 上的单位外法向导数，

«0 (工) ，Vo (•!)是不恒等于零的非负光滑函数；H，V

分别表示食饵和捕食者种群的密度；a ，b，c 为正常

数；4 A 分别是h，v 的扩散率;a„ ( ; = 1 ，2 )是它们

各自的扩散系数；_ 是正的交错扩散系数. 对于模

型（7 )〜（10)，文献[16，17]在空间维数« < 6 且初

始函数满足一定光滑的条件下，应用能量估计方法

并结合Shauder理论和 bootstrap技巧，得到了当

= 0(; = 1 ，2_)非负古典整体解的存在性和惟一性.

2 ) 在齐次Dirichlet边界条件下，文献[18，19]

讨论了捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性. 利

用极值原理、上下解方法给出了正解的先验估计，

利用Leray-Schauder度理论，通过锥映射不动点定

理得到了正解的存在性；利用特征值变分原理给出

了正解存在的惟一性. 结果表明，当食饵和被捕食

者的增长率适当大时，捕食者和食饵能够共存.

3 ) 对于带Beddington-DeAngelis反应项的捕

食-食饵模型的平衡态问题，文献[20〜23] 中利用

Leray-Schauder度理论，通过计算不动点指标，结

合极值原理、上下解方法，得到了正解存在的充分条

件，并且利用特征值方法给出了正解存在的惟一性

条件.

3 种群模型的周期解

1 ) 如下捕食者-食饵周期解的模型：

= Xl (t) (bx — i'l (t) — ax2 (t) — rfc3 (t)) ，

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