一类离散动力系统的n周期轨道的稳定性、超稳定性、与不稳定性的判据 (1991年)

本文的主题是一类离散动力系统周期轨道的稳定性问题。在这篇文章中，作者提出了对于离散动力系统中周期轨道稳定性的研究，这些动力系统被表示为xn+1=λ1xpn+μ+λ2xpn+μ-1+…+λpxμn+1的数学模型，其中xn代表系统状态，λ和μ是参数，p和n是周期轨道的周期。 文章的关键词包括离散动力系统、稳定性、不稳定性和周期轨道。稳定性理论在动力系统的分析中起着核心作用，因为它涉及到系统对初始条件变化的敏感程度和随时间演化的性质。 在文章中，作者首先提出了关于离散动力系统的定义，并且对于周期轨道的稳定性进行了讨论。在定义2.1中，作者详细解释了什么是一个离散动力系统映射的周期轨道，并且介绍了周期点和周期轨道的概念。接着，在定义2.2中，作者定义了映射的1周期轨道的稳定性，以及稳定性与不稳定的区别。根据稳定性定义，如果一个轨道上的点经过迭代后，其轨道最终会趋近于该轨道，则称该轨道是稳定的。相反，如果迭代结果远离原始轨道，则该轨道是不稳定的。 文章的理论部分涉及了两个重要定理。定理1中，作者讨论了如果一个点是映射的n周期点，那么这个点的迭代将产生1周期轨道。定理2.2讨论了在某个特定条件下，一个映射的1周期轨道的稳定性。当映射的导数的绝对值小于1时，该1周期轨道是稳定的，如果导数的绝对值大于1，则轨道是不稳定的。这些条件在理论分析中具有重要意义，因为它们帮助我们判断系统中轨迹的未来行为。 文章还讨论了如何通过分析映射的导数来研究映射的周期轨道的稳定性，即通过分析迭代函数在周期轨道附近的行为来预测整个动力系统的行为。对于离散动力系统而言，周期轨道的稳定性分析是一个重要课题，因为稳定周期轨道的存在可以代表系统中具有特定行为模式的吸引子或固定点。 另外，文章还提到了文献[1]中关于具有p+1个参数的离散动力系统的研究，文献[1]考虑了四周期轨道的存在性，而本文则深入研究了随参数变化的周期轨道的稳定性、超稳定性和不稳定性，并给出了判据。 这篇文章为离散动力系统中周期轨道稳定性的研究提供了一种方法论，并给出了一些关键性的判据，这些内容对于理解和分析复杂动力系统的行为具有指导意义。通过这些理论和方法，研究者们可以更好地理解动力系统中周期性的动态行为，以及这些行为如何随着系统参数的变化而变化。这对于自然科学领域中动力系统理论的研究具有重要的理论价值。