本文研究的是向量集值函数松弛型弱有效鞍点元的存在性问题。为了探讨这一问题，文章首先借助了函数的Contingent切导数，建立了松弛型弱有效鞍点元存在性的必要及充分条件。这一研究的背景是集合论和优化理论中的一个重要概念——鞍点，它在分析多目标优化问题中起着关键作用。鞍点的存在性对于研究向量值函数的极值问题至关重要。
在探讨之前，文章首先给出了集值函数的相关定义。集值函数F:K→2Rm被定义为凸集K到Rm的映射集。当且仅当对于所有的x,y属于K以及λ属于[0,1]，有λF(x)+(1-λ)F(y)⊆F(λx+(1-λ)y)，这个条件表明，凸组合的结果仍然在函数值的集合之内。如果将上述不等式取相反数，得到的集值函数称为割集值函数。
文章接着介绍了Contingent锥的概念。在Banach空间Y中的非空子集K上的一个点u属于K的闭包时，可以通过分析一个序列{Un}来定义K在点u的Contingent锥TK(u)。这个序列的极限点是u，并且在序列中每个点Un都属于K，当n趋向无穷大时，序列{Un}收敛到u。集值函数在K上的图形被定义为所有这样的点对(x, y)，其中x属于K且y属于F(x)。如果这个图形是凸集，那么集值函数F在K上被称为凸的。
文章的核心部分是介绍Contingent切导数的概念。如果在KxC上存在点(x*,y*)属于graph F，且对于所有的(z-z*)属于DF(x*,y*)，我们都有(z-z*)属于DF(x*,y*)，则称F在(x*,y*)处关于x关于y是Contingent可微的。这一定义建立在向量值函数的局部性质上，允许我们研究在某些特定点集值函数的局部行为。
文章的主体部分是对向量集值函数L: KxC→2Rm进行研究，这里的L函数被特别地假设在对应的点上是Contingent可微的。这一条件是研究问题的基础，并且是建立必要及充分条件的关键。
针对向量集值函数L:KxC→2Rm，研究了L在点(x*,y*)处关于x的Contingent切导数，并且讨论了在L(x,y*)点集上，关于y的Contingent切导数。利用这些导数的性质，文章最终建立了向量集值函数松弛型弱有效鞍点元存在的必要及充分条件。
通过这些定义和定理，本文为研究向量集值函数的极值问题提供了数学工具和理论基础。特别是通过Contingent切导数，研究者能够更准确地刻画向量集值函数的局部性质，这对于证明松弛型弱有效鞍点元的存在性是非常有用的。
文章的作者是李宏涛，来自于宝鸡文理学院数学系，他的研究方向是优化理论，特别是集值分析的领域。本文是他在这方面的研究成果之一，通过系统性的数学分析和严谨的逻辑推理，为相关研究领域贡献了重要的学术内容。
