第
35
卷/第
6
期/
2011
年门月
河北师范大学学报/自然科学版/
JOURNAL
OF
HEB
丘
1
NORMAL
UNIVERSITY/Natural
Science
Edition/
'1
01.35
No.
6
Nov.2011
非稳态方程的一类
Crouzeix-Raviart
型有限元方法
王健
(安阳师范学院数学与统计学院，河南安问
I
455(02)
摘
要:传统有限元方法要求区域剖分满足正则性条件.对一类非稳态方程，首先利用相应的
Crouzcix-
Raviart
型元，绕开区域剖分中正则性条件的限制，导出所讨论问题的全离散格式;其次，利用
Riesz
投影算子，通过一些新
的技巧和方法，得到最优误差估计.
关键词:非稳态方程;全离散;最优误差估计
Riesz
投影算子
中图分类号
:0242.21
文献标
i
只码
:A
文章编号
:1000-5854(2011)06-0562-05
A Class of Crouzeix-Raviart Finite Element
Method for Nonstationary Equation
飞iV
ANG
Jian
(Sc
h
∞
I
of
Mathematics
and
Statisti
凹，
Anyang
Normal
Uni\'crsity
,
Henan
Anyang
455002
,
China)
Abstract:
The
classial
finite
element
method
needs
the
meshes
of
triangulation
satisfying
the
regular
assump-
tion.
Firstly
,
by
using
Crouzeix-Raviart
finite
element
,
nonstationary
equations
are
studied
without
the
regular
as-
sumption
on
meshes.
At
the
same
time
,
anisotropic
element
approximate
scherne
are
given;
Se
condly
,
by
means
of
Riesz
projection
operator
and
some
new
approaches
,
the
optimal
error
estimate
can
be
obtained.
Key
words:
nonstationary
equation;
approximate
shceme;
optimal
error
estimates;
Riesz
projection
operator
有限元要求对区域剖分满足正则性条件
[1
J
然而实际应用中，对某些定义在窄边区域上的问题，若采用
正则性网格，计算量将很大，甚至无法实现;于是很自然的想法，通过各向异性网格
[2-8]
在离散化的过程中加
以解决.最近，
Apel
等
[2
剖研究了各向异性网格下
Lagrange
型有限元的误差分析，并给出了判别一个单元是
否具有各向异性特征的判别定理，但这种方法有时难以验证.随后，国内学者
Chen
等
[4]
对其进行了改进，给
出了一个更为一般的各向异性判别定理，并将之应用到实际问题中，取得了许多有意义和价值的成果
[4.7]
在实际工程计算时，对于
Crouzeix-
Raviart
型单元
[3-5]
来说，由于节点参数取为单元的边中点或边上的积
分平均值，所以其每个内部节点参数的影响单元仅为
2
个，显然采用
Crouzeix-Raviart
元计算更为方便.当求
依赖时间的偏微分方程时，通常的做法是:对空间区域采用有限元法，而对时间轴采用差分方法，并且对不同
时刻的空间区域采用相同的网格.迄今为止，关于这方面的工作已有许多
[9.12]
但值得注意的是，他们的研究
工作都是限定在区域剖分满足正则性假设之下.
与时间相关的非稳态四阶椭圆问题来自动力学问题和薄板的弯曲问题，而薄板的弯曲理论在工程力学
中有着广泛的使用价值.本文将针对该方程，在各向异性网格上利用
Crouzeix-Raviart
型元来进行分析、研
究，最后得到和传统有限元条件下相同的最优误差估计.
1
Crouzeix-Raviart
型单元的构造和一些结果
设
K
为工
-y
平面上的三角形单元，其顶点为
al(0
，
0)
，
(/2
(1
勺，肘，向
CO
，
h
y
)，三边为
1
1
句，句
，
1
2
a2
'
句
，
1
J
句，
α1
，另
K
为
E
一?平面上的参考元，顶点坐标为
å
1
(0
，l)
'Ü2
(1，
0)
，句
(0
，1)，其三边为
2)
=
收稿日期:
2011.03-08;
修回日期
:2011-05-10
基金项目:Ì"T南省自然科学基金
(0511013800)
;问南省教育厅内然科学研究项
I1
(20071
1000
1)
;安
IIIHlr
科技均抖技计划项
IJ
([，
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攻关
76)
作者简介:
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