基于同构Frankt-模与s-模的勾股模糊Frank集结算子及其应用资源-CSDN文库

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第 33卷第 8期控制与决策 Vol.33 No.8

2018年 8月 Control and Decision Aug. 2018

文章编号: 1001-0920(2018)08-1471-10 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2017.0532

基于同构Frank t-模与s-模的勾股模糊

Frank集结算子及其应用

杨艺

1,2

, 李延来

1†

, 丁恒

, 钱桂生

1,2

, 吕红霞

(1. 西南交通大学交通运输与物流学院，成都 610031；2. 香港城市大学系统工程与工程管理系，香港 999077)

摘要: 运用单位区间上的自同构构造一种适用于勾股模糊环境下的同构 Frank t-模与其对偶 s-模, 进而定义勾

股模糊集的广义运算法则, 并探究新法则的相关性质. 应用新的运算法则提出勾股模糊 Frank 加权平均 (PFFWA)

算子与勾股模糊 Frank 加权几何 (PFFWG) 算子, 证明算子的相关性质. 利用 PFFWA 与 PFFWG 算子提出一种解决

勾股模糊多属性决策问题的新方法. 通过解决航空公司服务质量评估问题, 对比分析新方法与现存的决策方法,

进而表明新方法的可行性和灵活性, 并验证了新方法具有反馈决策者态度特征的能力.

关键词: 勾股模糊数；Frank t-模与s-模；PFFWA 算子；PFFWG算子

中图分类号: C934 文献标志码: A

The pythagorean fuzzy Frank aggregation operators based on

isomorphism Frank t-norm and s-norm and their application

YANG Yi

1,2

, LI Yan-lai

1†

, DING Heng

, QIAN Gui-sheng

1,2

, LYU Hong-xia

(1. School of Transportation and Logistics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2. Department

of Systems Engineering and Engineering Management，City University of Hong Kong，Hong Kong 999077，China)

Abstract: Based on the automorphism on the unit interval, an isomorphism Frank t-norm and its dual s-norm are created,

which are applicable to Pythagorean fuzzy environment, and the generalized operational laws with respect to pythagorean

fuzzy set(PFS) are deﬁned and some properties of these laws are also investigated. Then, the Pythagorean fuzzy Frank

weighted averaging(PFFWA) operator and Pythagorean fuzzy Frank weighted geometric(PFFWG) operator are proposed

by using the new operational laws. Some desirable properties of these operators are proved. A new approach to solve the

Pythagorean fuzzy multiple attribute decision making problem is developed by using the PFFWA and PFFWG operators.

By solving the problem of airline service quality assessment, the proposed method is compared with existing methods.

The analysis results demonstrate the feasibility and ﬂexibility of the proposed method, and verify its ability to feedback

the attitude of the decision maker.

Keywords: pythagorean fuzzy number；Frank t-norm and s-norm；PFFWA operator；PFFWG operator

0 引言

经典的模糊集 (Fuzzy set, FS)

[1]

用隶属度刻画

元素归属于集合的模糊程度. 作为模糊集的拓展, 直

觉模糊集 (Intuitionistic fuzzy set, IFS)

[2]

同时考虑了

隶属度 µ 和非隶属度 v 两方面信息, 且满足条件 µ +

v ⩽ 1. IFS 能更加直观地描述决策者对事物的不确

定性, 且在多属性决策 (MADM) 问题中得到了广泛

的应用

[3-8]

. 文献 [9-10] 在分析 MADM 的实际案例时

考虑如下情形: 属性评价值的隶属度与非隶属度之

和大于 1, 隶属度与非隶属度的平方和小于 1. 然而,

由IFS 的约束条件可知, IFS 并不适用于上述情形. 为

此, Yager 等

[9-10]

提出了勾股模糊集 (Pythagorean

fuzzy set, PFS), PFS 的隶属度与非隶属度的约束条

件为 µ

+ v

⩽ 1, 其适用于上述情形. Yager

[10]

进一

步揭露了任意的IFS皆为 PFS. 从几何的角度上看,直

觉模糊集拓展到勾股模糊集的过程即为三角形约束

区域扩大到四分之圆约束区域. 因此, 在实际决策问

题中, 勾股模糊集为评价者提供了更灵活的评价尺

度和工具,使其不再局限于提供隶属度和非隶属度之

和小于 1 的评价值, 进而增强了处理多属性决策问题

收稿日期: 2017-05-01；修回日期: 2017-08-23.

基金项目: 国家自然科学基金项目(71373222, 71371156)；西南交通大学拔尖人才培育项目 (A0520502051601-6).

作者简介: 杨艺 (1990−), 男, 博士生, 从事模糊决策的研究；李延来 (1971−), 男, 教授, 博士生导师, 从事智能控制

与应用等研究.

†

通讯作者. E-mail: yanlaili@home.swjtu.edu.cn

1472 控制与决策第33卷

的能力. 现存的文献研究表明了勾股模糊集备受关

注, 且能够有效地解决多属性决策问题

[11-22]

. Zhang

等

[11]

构建了拓展的勾股模糊 TOPSIS决策方法, 并将

其应用于勾股模糊信息环境下的决策问题中. Peng

等

[12]

基于勾股模糊集的运算法则提出了勾股模糊集

结算子, 并将其应用于股票投资的决策问题中. 针对

专家权重未知的勾股模糊群决策问题, Zhang

[13]

利用

所提出的相似测度获取专家权重,进而解决选择最优

光伏电池的实际问题. 刘卫锋等

[15-16]

提出广义勾股

模糊加权集结算子与交叉勾股集结算子, 将所提出集

结算子应用于国内航空公司服务质量评估的多属性

决策问题中. 李德清等

[17]

通过分析勾股模糊集的结

构特点提出勾股模糊集的距离测度, 借助 TOPSIS 方

法建立了基于所提出距离测度的决策方法, 并利用该

方法处理投资选择问题. Ma 等

[18]

提出了对称勾股模

糊加权集结算子,并将其应用于航空公司服务质量评

估问题中. Ren 等

[19]

提出了拓展的勾股模糊 TODIM

决策方法,并将其应用于亚洲基础设施投资银行选择

投资对象的实际决策问题中. 彭新东等

[20]

将语义集

拓展到勾股模糊语义集,并将其应用于软件开发项目

评价的决策问题中. Peng 等

[21]

构建出拓展的勾股模

糊MABAC方法,并将其应用于项目投资选择问题中.

模糊集的运算规则(Operationallaws)在模糊集理

论的发展过程中扮演着重要角色,对于勾股模糊集而

言, 其基本运算规则的研究相对甚少

[11,18,22]

, 尤其是

广义的运算规则. 值得注意的是, Frank t-模和 s-模

[23]

作为定义运算规则的重要工具,因其能在特定条件下

退化成 Lukasiewicz t-模和 s-模以及 Algebraic t-模和

s-模, 而被应用于定义各类模糊集的运算规则, 如直

觉模糊集

[24]

、区间直觉模糊集

[25]

、犹豫模糊集

[26]

、

区间直觉语义集

[27]

、三角区间二型模糊集

[28]

. 基于

Frank t-模和 s-模定义的运算规则较为广义, 决策者

可以根据参数的不同取值获取不同的运算规则, 因此

能够更灵活地处理决策问题. 然而, 经过实例分析,若

直接利用Frank t-模和 s-模定义勾股模糊集的运算规

则,则会导致运算规则不满足封闭性. 为此, 经过剖析

直觉模糊集和勾股模糊集之间的关系, 本文挖掘出单

位区间内的一个自同构, 然后利用该自同构构造出

适用于勾股模糊集的一种同构 Frank t-模与其对偶

s-模, 进而定义勾股模糊集的广义运算规则, 并研究

新运算规则的特殊形式和基本性质.

集结算子在多属性决策过程中发挥着重要作

用. 决策者利用集结算子将多个评价信息融合成单

一的综合评价值后, 再利用评价值的排序方法对综

合值进行排序, 进而获取备选方案的排序, 选择出

符合要求的最优方案. 针对勾股模糊环境下 MADM

的多个评价信息的集结问题, 本文将基于同构 Frank

t-模和 s-模定义的运算规则提出勾股模糊 Frank 加

权平均 (PFFWA) 算子和勾股模糊 Frank 加权平均

(PFFWG) 算子, 探讨其特殊形式和基本性质, 并提出

一种基于 PFFWA 和 PFFWG 算子的勾股模糊环境下

的多属性决策方法. 在部分勾股模糊环境下的多属

性决策问题中, 不同决策者的心理特征并不统一, 其

乐观性和悲观性并非一成不变. 面对此种情形, 单一

固定的算子并不适用, 而具有反馈决策者心理特征

能力的广义集结算子显得尤为重要. 本文所提出带

参数的Frank算子是基于勾股模糊 Frank 运算定义的,

在特定条件下可以退化现存的部分算子, 且具备广义

性和灵活性. 利用所提出决策方法对航空公司的服

务质量进行评定和择优, 以验证 Frank 算子的这些性

质, 并深入分析算子中参数对于评估过程的影响, 利

用参数刻画决策者的心理特征. 为了进一步表明该

方法的可信性和优点,将现存的决策方法与所提出方

法进行对比分析.

1 󳹕备知󳆗

1.1 勾股模糊集的相关概念

给出直觉模糊集与勾股模糊集的相关定义.

定义1

[2]

设X = {x

, x

, ··· , x

}为给定的集

合,则X 上的直觉模糊集I 定义为

I = {⟨x

, µ

), v

)⟩|x

∈ X},

其中 µ

) 和 v

) 分别为元素 x

属于集合 I 的隶

属度和非隶属度. 二元组 (µ

), v

)) 称为直觉

模糊数 (IFN), 为了方便, 直觉模糊数简记为 β =

(µ

, v

),其中µ

, v

∈ [0, 1], µ

+ v

⩽ 1.

定义 2

[9-10]

设 X = {x

, x

, ··· , x

}为给定的

集合,则X 上的勾股模糊集P 定义为

P = {⟨x

, µ

), v

)⟩|x

∈ X},

其中 µ

) 和 v

) 分别为元素 x

属于集合 P 的

隶属度和非隶属度. 二元组 (µ

), v

)) 称为勾

股模糊数 (PFN), 为了方便, 勾股模糊数简记为 α =

(µ

, v

),其中µ

, v

∈ [0, 1], µ

+ v

⩽ 1.

设α = (µ, v), α

= (µ

, v

)和 α

= (µ

, v

)为 3

个勾股模糊数, Yager等

[9-10]

定义了如下基本运算:

1) α

∪

= (max{µ

, µ

}, min{v

, v

});

2) α

∩

= (min{µ

, µ

}, max{v

, v

});

3) α

= (v, µ).

进一步地, 勾股模糊数之间的自然偏序关系定

义如下: 若 µ

⩽ µ

, v

⩾ v

, 则称 α

⩽ α

. 易知若

⩽ α

,则α

⩽ α

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