关于包含对称函数及其对偶的弯曲函数的构造

在密码学和编码理论中，弯曲函数（Bent Functions）是一类特殊的布尔函数，它们具有最优的汉明距离特性，即与所有仿射函数的距离都达到了理论上的最大值。自1976年由Rothaus首次提出以来，弯曲函数因其在理论研究和实际应用中的重要性，如与编码理论的联系以及在密码学和组合数学等领域的应用，而吸引了大量研究者的关注。尽管弯曲函数的定义简洁明了，但其结构通常非常复杂，因此寻找构造方法，以尽可能多地构造出新的弯曲函数，对于理论研究和应用均具有重要意义。 本研究文章主要探讨了如何从基本对称弯曲函数出发，构造新的弯曲函数。文章的组织结构如下：首先在第二节中介绍形式定义和必要的预备知识。在第三节中，作者首先计算了基本对称弯曲函数的对偶函数，并在此基础上推导出了一种新的次级构造方法，这种方法涉及到了对称弯曲函数及其对偶函数，导致了对著名Rothaus构造方法的泛化。这一研究领域在数学上主要涉及的子领域包括布尔函数、对称函数、对偶函数，以及在分类上属于数学分类号06E30和94A60。 为更深入理解这一研究领域，首先需要了解基本的布尔函数。布尔函数是定义在布尔域上的函数，其变量和函数值均取自集合{0, 1}。在所有n变量的布尔函数中，弯曲函数具有最大的非线性度，其汉明距离到仿射函数的最优性质是通过其构造和性质来保证的。研究弯曲函数的一个重要方向就是它们的构造方法，包括初级构造和次级构造。 初级构造是指从零开始构造出新的弯曲函数的方法，而次级构造则是基于已知的弯曲函数来构造新的弯曲函数。文章中提到的Rothaus构造方法是一种经典的初级构造方法，而文章的核心贡献是提出了一种新的次级构造方法，这种方法特别关注如何利用对称弯曲函数来构建新的弯曲函数，并且给出了相应的对偶函数。 对称函数是布尔函数中的另一类重要函数，它们在所有变量的置换下保持不变。文章中提到的基本对称弯曲函数是具有对称性质的弯曲函数，是研究弯曲函数对称性质和构造方法的重要起点。 对偶函数是与给定的布尔函数相关联的另一布尔函数，它在布尔函数研究中也扮演着重要角色。对偶函数的概念在逻辑函数分析、编码理论以及密码学中有广泛的应用。 文章对研究者来说，不仅提供了新的研究思路和方法，而且对推动弯曲函数理论的深入研究和实际应用都具有重要的意义。通过对弯曲函数的深入研究，可为密码学中的序列设计、伪随机数生成器设计等领域提供理论基础和技术支撑。同时，这项研究也对编码理论提供了新的视角，有助于更深入地理解编码理论中的某些问题。