线性规划的对偶理论

### 线性规划的对偶理论 #### 一、对偶问题的概念 线性规划问题具有一种重要的特性——对偶性。对于任何求极大值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性规划问题与之相对应，反之亦然。如果将其中之一视为原问题，则另一个被称为该问题的对偶问题。 对偶理论主要研究的是原问题与对偶问题之间的关系以及它们解的性质。通过对偶理论，我们不仅可以解决原问题，还可以同时获得对偶问题的解，并能提供诸如影子价格等有价值的信息。 #### 二、对偶问题的具体示例 ##### 1. 对偶思想举例 - **周长一定的矩形**：在周长一定的条件下，正方形的面积最大。 - **面积一定的矩形**：在面积一定的条件下，正方形的周长最小。 这些例子直观地展示了对偶性的概念，即在一个问题中最大化的目标函数，在另一个问题中被最小化。 ##### 2. 经济管理实例 考虑一个工厂生产两种产品（甲和乙），并需要四种不同的设备进行加工的情况。为了简化问题，假设每种产品的利润值和每种设备的可用时间已知。在这种情况下： - **原问题**：工厂如何安排生产数量以最大化利润？ - **对偶问题**：如果不生产这两种产品而是选择出租设备以收取加工费，如何设定每种设备的加工费？ 在设定加工费的过程中，需要遵循两个原则：一是确保加工费不低于生产产品的利润，二是尽量降低加工费以吸引更多的客户。 #### 三、对偶问题的形式 对偶问题可以分为几种类型： - **对称型对偶问题**：这种形式是最常见的，其中原问题与对偶问题的结构非常相似，只是目标函数的方向相反。 - **非对称型对偶问题**：当原问题中含有等式约束时，对应的对偶问题会有所不同。 - **混合型对偶问题**：结合了上述两种类型的特性。 #### 四、如何从原始问题构建对偶问题 1. **对称型对偶问题**：通过将原始问题中的目标函数、约束条件以及变量进行“上下”、“左右”交换，并改变不等式的符号来构建对偶问题。 2. **非对称型对偶问题**：当原始问题含有等式约束时，可以通过将其转换为两个不等式约束的形式来构造对偶问题。 3. **混合型对偶问题**：根据原始问题的特定形式，采用相应的转换规则构建对偶问题。 #### 五、对偶问题的基本性质 对偶定理揭示了原问题与对偶问题之间的重要关系。例如，对称性定理指出，对偶问题的对偶实际上是原问题本身。此外，还有一些其他的定理描述了原问题与对偶问题之间的可行解和最优解的关系。 #### 六、结论 对偶理论是线性规划中的一个重要概念，它不仅有助于理解线性规划问题的本质，还提供了解决实际问题的有效方法。通过对偶理论的应用，我们可以更加高效地解决复杂的优化问题，并从中获得有价值的洞察。在运筹学的学习过程中，掌握对偶理论是非常必要的。