一类四元正交多小波包的性质 (2011年)

小波理论作为信号处理的重要工具，在图像处理、信号分析、数据压缩和边缘检测等领域发挥着越来越重要的作用。小波包的概念由Coifman和Meyer等人在单小波的基础上提出，用于进一步分解离散小波变换后的高频部分。Goodman随后提出了多分辨分析的概念，为多小波理论奠定了基础，并给出了样条多小波的例子。Donovan、Geronima和Massopust等人则利用分形理论中的迭代函数系统构造了第一个实用的紧支GHM多小波。 本文引入了四元多重正交小波包的概念，并通过变量分离法和矩阵论理论，深入探讨了四元正交多小波包的性质。具体来说，作者建立了三个四元多小波包的正交公式，这些公式对于理解和运用四元正交多小波包在信号处理中具有重要的理论和实践价值。 四元正交多小波包的定义基于四维欧式空间R4，利用L2(R4)表示平方可积函数空间，并考虑了V(R4)的n重张量积，记为V(R4)。在此基础上，对于任意的函数向量g(t)和h(t)，定义了它们的内积为在整个R4空间上的积分。对于具有周期性的函数向量，通过傅里叶变换来定义其各个分量的变换，进一步讨论了多重正交小波包的性质。 文章中对小波包变换的理解和描述，暗示了该理论在信号处理中的优势。小波包变换相对于传统的离散小波变换，在保留了时间分辨率的同时，提高了频率分辨率，这在处理非平稳信号时尤其重要。通过多小波包的引入，能够更精细地对信号进行分解，从而提供了更加灵活和有效的工具来分析和处理复杂的信号结构。 文章还涉及了多重正交性的概念，这是多小波理论的一个核心概念。多重正交性意味着在不同的尺度空间中，不同小波函数之间相互正交，这样可以避免相互之间的干扰，提高信号处理的准确性。在此基础上，作者进一步推广到四元正交多小波包，利用代数学理论和矩阵论来研究多小波包的性质，得到了三个重要的正交公式。 在小波理论中，迭代算法通常用于求解尺度函数和小波函数，构造多小波系统。本文虽然没有具体展示迭代算法的细节，但通过关键词中的“迭代算法”可以推测，在研究四元正交多小波包的性质时，迭代方法可能起到了关键作用。 此外，文章中提到的变量分离法是一个数学处理技巧，它将复杂问题中的变量分离开来，简化问题的求解过程。在本文的语境下，变量分离法可能被用来简化四元正交多小波包性质的分析和公式的推导。 总而言之，本研究通过引入和定义四元多重正交小波包，结合变量分离法和矩阵论，系统地研究了其性质，并建立了相应的正交公式，对小波理论在信号处理应用中的深化具有重要意义。论文不仅在理论层面上对小波理论进行了丰富和发展，同时为信号处理实践提供了新的思路和工具。