本文讨论有限群在特征为0的代数闭域K上的表示。群G的表示φ称为单项表示,如果φ是G的某个子群的一次表示的诱导表示。如果G的每一个不可约表示都是单项表示,则称G是M一群。本文在§1用指标方法证明了有关群G的不可约表示由子群的不可约表示所诱导的两个定理。然后在§2证明了:极小非超可解群是M-群;可解外超可解群是M-群;若群G是abel正规子群与极小非超可解群的半直积,则G是M-群。
### 与极小非超可解群有关的群的不可约表示
#### 一、引言及背景
本文探讨的是有限群在特定条件下的表示理论，即这些群在特征为0的代数闭域\( K \)上的表示。具体而言，关注的是群\( G \)的不可约表示是否可以通过其子群的不可约表示来构造，这类群被称为\( M \)-群。本文主要分为两个部分：第一部分介绍了关于群\( G \)的不可约表示由其子群的不可约表示诱导的两个定理；第二部分则深入探讨了几类特殊的群，如极小非超可解群、可解外超可解群以及特定结构的半直积群，并证明它们均属于\( M \)-群。
#### 二、单项表示与\( M \)-群定义
**单项表示**：如果群\( G \)的表示\( \varphi \)是通过其某个子群\( H \)的一个一次表示的诱导表示得到的，那么我们称\( \varphi \)为单项表示。
**\( M \)-群**：如果群\( G \)的每个不可约表示都是单项表示，那么\( G \)被称为\( M \)-群。
#### 三、关键定理及其证明概述
**定理1**：对于任何群\( G \)及其子群\( H \)，\( G \)的每个不可约表示都可以由\( H \)的一个不可约表示通过诱导表示构造出来。
**证明概述**：
1. **概念引入**：文章首先介绍了几个基础概念，例如类函数的概念，以及如何通过元素\( g \)的作用将一个类函数转化为另一个类函数。
2. **引理证明**：通过一系列数学运算证明了一个引理，该引理揭示了类函数与诱导表示之间的关系。
3. **定理证明**：基于上述引理，通过数学推导证明了定理1。
**定理2**：极小非超可解群、可解外超可解群以及特定类型的半直积群均属于\( M \)-群。
**证明概述**：
1. **定义回顾**：首先回顾了极小非超可解群、可解外超可解群等概念的定义。
2. **分情况讨论**：
- **极小非超可解群**：通过对这类群的性质分析，证明了它们属于\( M \)-群。
- **可解外超可解群**：同样地，通过对这类群的性质进行分析，证明了它们也是\( M \)-群。
- **特定类型的半直积群**：考虑了群\( G \)是由阿贝尔正规子群与极小非超可解群的半直积构成的情况，证明了这类群同样满足\( M \)-群的定义。
#### 四、结论
本文通过对多项表示、\( M \)-群等相关概念的深入研究，以及通过严格的数学证明，展示了特定类型的群，包括极小非超可解群、可解外超可解群以及特定结构的半直积群，都属于\( M \)-群。这一结果不仅加深了我们对这些特殊群的理解，也为后续的研究提供了重要的理论依据。
#### 五、拓展思考
尽管本文已经对几类特殊的群进行了详尽的研究，但表示理论的研究领域仍然非常广泛。未来的研究可以考虑以下几个方向：
1. **更广泛的群类**：探索更多种类的群是否属于\( M \)-群。
2. **表示理论的应用**：在物理、计算机科学等领域寻找表示理论的实际应用案例。
3. **新方法和技术**：发展新的数学工具和技术，以更高效地研究群的表示理论。
